닮은 직각삼각형이란?
직각삼각형에서 직각인 꼭짓점으로부터 빗변에 수선(높이)을 내리면, 원래의 삼각형이 두 개의 작은 삼각형으로 나뉩니다. 이때 원래 삼각형과 나뉜 두 삼각형, 즉 세 삼각형은 모두 서로 닮음 관계에 있습니다. 바로 이 닮음에서 유명한 기하평균 관계(이른바 '직각삼각형 수선 정리')가 나오며, 이를 이용하면 빗변이 두 선분으로 나뉜 길이만으로 높이와 두 변의 길이를 구할 수 있습니다.
계산기 사용 방법
빗변을 나눈 두 선분 p와 q를 입력하세요. 선분 p는 한쪽 변과 맞닿아 있고 q는 다른 쪽 변과 맞닿아 있으며, 둘을 합치면 빗변 전체 길이가 됩니다. 계산기는 높이 h, 빗변 전체 길이, 그리고 두 변의 길이를 알려 줍니다.
공식 이해하기
빗변에 내린 높이는 두 선분의 기하평균입니다:
$$h = \sqrt{\text{p} \cdot \text{q}}$$각 변은 빗변 전체와 그 변에 맞닿은 선분의 기하평균이 됩니다:
$$a = \sqrt{\text{p} \cdot (\text{p}+\text{q})}$$$$b = \sqrt{\text{q} \cdot (\text{p}+\text{q})}$$이 식들은 닮은 삼각형 사이의 비례 관계에서 곧바로 유도됩니다.
풀이 예제
\(p = 4\), \(q = 9\)라고 가정해 봅시다. 빗변은 \(4 + 9 = 13\)입니다. 높이는 다음과 같습니다:
$$h = \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6$$두 변은 각각 \(\sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52} \approx 7.2111\), \(\sqrt{9 \cdot 13} = \sqrt{117} \approx 10.8167\)입니다. 피타고라스 정리로 검산하면 \(7.2111^2 + 10.8167^2 \approx 52 + 117 = 169 = 13^2\)로 정확히 들어맞습니다.
자주 묻는 질문
기하평균이란 무엇인가요? 두 수 a와 b의 기하평균은 \(\sqrt{a \cdot b}\)로, \(a/x = x/b\)를 만족하는 값 \(x\)를 말합니다.
p와 q가 같아도 되나요? 됩니다. \(p = q\)이면 수선의 발을 기준으로 이등변 직각삼각형이 되며, 이때 높이는 각 선분의 길이와 같아집니다.
두 변의 길이만 알고 있다면요? 그럴 때는 일반적인 피타고라스 정리를 사용하세요. 이 계산기는 빗변을 나눈 선분을 기반으로 한 기하평균 관계 전용입니다.
