Qu'est-ce que le calculateur de sin(2θ) ?
Cet outil calcule sin(2θ), le sinus d'un angle doublé, à partir de l'identité trigonométrique de l'angle double. Indiquez n'importe quel angle en degrés ou en radians : le calculateur affiche sin(2θ) ainsi que les valeurs intermédiaires \(\sin\theta\) et \(\cos\theta\), pour que vous puissiez suivre le raisonnement étape par étape.
Comment l'utiliser
Saisissez votre angle \(\theta\) dans le champ prévu, choisissez s'il est exprimé en degrés ou en radians, puis lisez le résultat. Les degrés sont sélectionnés par défaut, ce qui convient bien à la géométrie et à la plupart des exercices scolaires ; passez en radians pour l'analyse mathématique et la physique.
La formule expliquée
L'identité de l'angle double pour le sinus s'écrit :
$$\sin\!\left(2\,\theta\right) = 2\,\sin\!\left(\theta\right)\cos\!\left(\theta\right)$$
On la déduit de la formule d'addition du sinus, \(\sin(A + B) = \sin A\cos B + \cos A\sin B\), en posant \(A = B = \theta\). Comme les deux termes deviennent alors \(\sin\theta\cos\theta\), ils se regroupent en \(2\,\sin\theta\cos\theta\). Cette identité est exacte pour tout angle réel.
Exemple résolu
Prenons \(\theta = 30^{\circ}\). On a alors \(\sin\theta = 0{,}5\) et \(\cos\theta = 0{,}8660254\). En multipliant : $$2 \times 0{,}5 \times 0{,}8660254 = 0{,}8660254$$ Vous pouvez le vérifier directement : \(\sin(2 \times 30^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = 0{,}8660254\). Les deux méthodes donnent bien le même résultat.
FAQ
Est-ce que \(\sin(2\theta)\) est égal à \(2\,\sin\theta\) ? Non. Une erreur fréquente consiste à « distribuer » le 2 sur l'angle. La bonne identité est \(2\,\sin\theta\cos\theta\), qui n'est généralement pas égale à \(2\,\sin\theta\).
Quelle est la plage des résultats possibles ? Comme le sinus de tout nombre réel est compris entre \(-1\) et \(1\), \(\sin(2\theta)\) se situe toujours dans l'intervalle \([-1, 1]\).
Puis-je saisir des angles négatifs ou très grands ? Oui. Le sinus est périodique et défini pour tous les angles réels : les valeurs négatives et les angles supérieurs à 360° (ou à \(2\pi\)) fonctionnent parfaitement.
