Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, frekans ağırlıklı bir veri kümesine \(y = A \cdot e^{Bx}\) biçiminde bir üstel trend eğrisi uydurur. Her veri satırı (x, y, f) üçlüsünden oluşur; burada f frekansı ya da ağırlığı, yani o gözlemin kaç kez tekrarlandığını ifade eder. Sonuçta uydurulan A ve B katsayıları ile altta yatan doğrusal uyumun r korelasyon katsayısı elde edilir. Bu tamamen matematiksel bir hesaplamadır; ülkeye özgü kuralları yoktur ve dünyanın her yerinde aynı şekilde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Her satıra bir nokta gelecek şekilde x, y, f biçiminde değerleri girin. y değeri 0'dan büyük olmalıdır; çünkü model, doğal logaritması alınarak doğrusallaştırılır. Üçüncü sütunu boş bırakırsanız frekans varsayılan olarak 1 kabul edilir. Kaç anlamlı basamak göstermek istediğinizi seçin; ardından A, B, r değerlerini ve yerine konmuş uyum denklemini okuyun.
Formülün açıklaması
ln y = ln A + B·x olduğundan, üstel eğri uydurma işlemi aslında ln y'nin x üzerine yapılan ağırlıklı doğrusal regresyonuna indirgenir. Her terimin f frekansıyla çarpıldığı ağırlıklı toplamları kullanarak \(n = \sum f\), ağırlıklı ortalamalar \(\bar{x}\) ile \(\bar{L}\) (ln y'nin ortalaması) ve ağırlıklı kareler toplamları \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) ile çapraz çarpım \(S_{xy}\) tanımlanır. Buradan $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \quad A = e^{\bar{L} - B\bar{x}}, \quad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}} \cdot \sqrt{S_{yy}}}$$ bulunur. r'nin \(\pm 1\)'e yakın olması güçlü bir uyumu gösterir.
Çözümlü örnek
Her birinin frekansı 1 olan (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6) noktalarını ele alalım; bunlar \(y = e^{x}\) eğrisine oldukça yakındır. Burada \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{L} \approx 2.49887\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} \approx 5.0098\), \(S_{yy} \approx 5.0196\) olur. Buradan \(B \approx 1.0020\), \(A = e^{(2.49887 - 2.5048)} \approx 0.9940\) ve \(r \approx 0.9998\) elde edilir. Uydurulan denklem yaklaşık olarak $$y = 0.9940 \cdot e^{(1.0020 \cdot x)}$$ şeklindedir — yani neredeyse tam olarak \(y = e^{x}\).
Sıkça sorulan sorular
y neden pozitif olmak zorunda? Uyum işleminde ln(y) kullanılır; sıfırın ya da negatif bir sayının logaritması tanımsızdır, bu yüzden böyle satırlar kabul edilmez.
f frekansı neyi temsil eder? Her noktanın uyuma ne kadar güçlü etki ettiğini belirleyen ağırlıktır — aynı (x, y) değerini paylaşan çok sayıda gözlemin bulunduğu frekans dağılım tablolarında özellikle kullanışlıdır.
r değerini nasıl yorumlamalıyım? |r| değeri 0.7'nin üzerindeyse güçlü, 0.4–0.7 arasında orta düzey, 0.2–0.4 arasında zayıf, 0.2'nin altındaysa neredeyse hiç korelasyon yok demektir.
