度数付きe指数回帰計算機（y = A・e^(Bx)）｜係数A・Bと相関係数を算出

計算を入力してください

結果

あてはめ式

y = 0.9939929467 * e^(1.001958614 * x)

y = A · e^(B · x)

A（係数）	0.993993
B（指数の係数）	1.001959
相関係数 r	0.999998

この計算機でできること

このツールは、度数（重み）付きのデータに対して $y = A \cdot e^{Bx}$ という形の指数トレンド曲線をあてはめます。各データ行は (x, y, f) の3つ組で、f は度数（重み）、つまりその観測値が何回現れるかを表します。出力されるのは、あてはめた係数 A と B、そして基礎となる線形回帰の相関係数 r です。これは純粋な数学計算であり、国や地域による違いはなく、どこで使っても同じ結果になります。

使い方

1行につき1点を x, y, f の形式で入力します。モデルは自然対数をとって線形化するため、y の値は必ず 0 より大きくしてください。3列目を省略した場合、度数は自動的に 1 として扱われます。表示する有効数字の桁数を選び、A・B・r と、値を代入したあてはめ式を確認しましょう。

計算式の解説

ln y = ln A + B・x という関係から、指数回帰は ln y を x に回帰させる加重線形回帰に帰着します。各項に度数 f を掛けた加重和を用いて、$n = \sum f$、加重平均 $\bar{x}$ と $\bar{L}$（ln y の平均）、そして加重平方和 $S_{xx}$・$S_{yy}$ と積和 $S_{xy}$ を定義します。すると次のようになります。

$$y = A \cdot e^{B x}$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} B &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \\ A &= e^{\,\bar{L} - B\bar{x}} \\ S_{xx} &= \textstyle\sum f x^{2} - n\bar{x}^{2} \\ S_{xy} &= \textstyle\sum f x \ln y - n\bar{x}\bar{L} \\ n &= \textstyle\sum f,\quad \bar{x}=\tfrac{\sum f x}{n},\quad \bar{L}=\tfrac{\sum f \ln y}{n} \end{aligned} \right.$$

また $r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\cdot\sqrt{S_{yy}}}$ となります。r が ±1 に近いほど、あてはまりが良いことを意味します。

y の対数をとって指数曲線を線形化 — ln y をとると指数モデルは直線 ln y = ln A + Bx になり、重み付き最小二乗フィットで利用される。

大きさの異なる散布点に指数曲線を当てはめた図 — 頻度の重み付き指数曲線 y = A·e^(Bx) を、マーカーの大きさが頻度の重みを表すデータ点に当てはめたもの。

計算例

度数をそれぞれ 1 とした4点 (1, 2.7)、(2, 7.4)、(3, 20.1)、(4, 54.6) を考えます。これらは $y = e^{x}$ に近い値です。ここで $\bar{x} = 2.5$、$\bar{L} \approx 2.49887$、$S_{xx} = 5$、$S_{xy} \approx 5.0098$、$S_{yy} \approx 5.0196$ となります。したがって $B \approx 1.0020$、$A = e^{\,2.49887 - 2.5048} \approx 0.9940$、$r \approx 0.9998$ です。あてはめ式はおよそ $$y = 0.9940 \cdot e^{1.0020\,x}$$ つまりほぼ $y = e^{x}$ となります。