Ce que fait ce calculateur
Cet outil ajuste une courbe de tendance exponentielle de la forme \(y = A \cdot e^{Bx}\) à un jeu de données pondéré par les fréquences. Chaque ligne de données est un triplet (x, y, f), où f représente la fréquence ou le poids — le nombre de fois où l'observation apparaît. Le calculateur renvoie les coefficients ajustés A et B ainsi que le coefficient de corrélation r de l'ajustement linéaire sous-jacent. Il s'agit de mathématiques pures, valables à l'identique partout, sans règle propre à un pays ou à une région.
Comment l'utiliser
Saisissez un point par ligne sous la forme x, y, f. La valeur de y doit être strictement supérieure à 0, car le modèle est linéarisé en prenant son logarithme népérien. Si vous omettez la troisième colonne, la fréquence prend par défaut la valeur 1. Choisissez le nombre de chiffres significatifs à afficher, puis lisez A, B, r et l'équation ajustée avec les valeurs substituées.
La formule expliquée
Comme ln y = ln A + B·x, l'ajustement de l'exponentielle se ramène à une régression linéaire pondérée de ln y en fonction de x. En utilisant des sommes pondérées où chaque terme est multiplié par la fréquence f, on définit \(n = \sum f\), les moyennes pondérées \(\bar{x}\) et \(\bar{L}\) (moyenne de \(\ln y\)), ainsi que les sommes pondérées de carrés \(S_{xx}\), \(S_{yy}\) et le produit croisé \(S_{xy}\). On a alors les relations suivantes :
Un r proche de \(\pm 1\) indique un excellent ajustement.
Exemple résolu
Prenons les points (1, 2.7), (2, 7.4), (3, 20.1), (4, 54.6), chacun de fréquence 1, qui se rapprochent de \(y = e^{x}\). Ici \(\bar{x} = 2.5\), \(\bar{L} \approx 2.49887\), \(S_{xx} = 5\), \(S_{xy} \approx 5.0098\) et \(S_{yy} \approx 5.0196\). On obtient donc \(B \approx 1.0020\), \(A = e^{\,2.49887 - 2.5048} \approx 0.9940\) et \(r \approx 0.9998\). L'équation ajustée est approximativement \(y = 0.9940 \cdot e^{1.0020 \cdot x}\) — soit, en pratique, \(y = e^{x}\).
FAQ
Pourquoi y doit-il être positif ? L'ajustement utilise \(\ln(y)\) ; le logarithme de zéro ou d'un nombre négatif n'est pas défini, c'est pourquoi ces lignes sont rejetées.
Que représente la fréquence f ? Elle pondère l'influence de chaque point sur l'ajustement — très utile pour les tableaux de distribution de fréquences où de nombreuses observations partagent le même couple (x, y).
Comment interpréter r ? Un \(|r|\) supérieur à 0,7 traduit une forte corrélation, entre 0,4 et 0,7 une corrélation modérée, entre 0,2 et 0,4 une corrélation faible, et en dessous de 0,2 une corrélation pratiquement nulle.
