À quoi sert ce calculateur
Cet outil ajuste une courbe de régression à un tableau de distribution de fréquences. Chaque ligne est un triplet (x, y, f) où x est la valeur indépendante, y la valeur dépendante et f la fréquence (le poids), c'est-à-dire le nombre d'occurrences de ce couple. Vous choisissez l'une des sept formes de courbe, le calculateur effectue un ajustement par les moindres carrés pondérés par la fréquence, puis affiche les coefficients, le coefficient de corrélation et une valeur estimée. Il s'agit de mathématiques pures, applicables partout.
Les sept modèles
Linéaire : \(y = A + Bx\). Logarithmique : \(y = A + B\ln x\). Exponentielle en e : \(y = A\,e^{Bx}\). Exponentielle en ab : \(y = A\,B^{x}\). Puissance : \(y = A\,x^{B}\). Inverse : \(y = A + \frac{B}{x}\). Quadratique : \(y = A + Bx + Cx^{2}\). Chaque modèle non quadratique est linéarisé sous la forme \(Y = a + bX\) au moyen d'une transformation adaptée (logarithme ou inverse) avant l'ajustement, puis le résultat est retransformé en \(A\) et \(B\). Le modèle quadratique, lui, est résolu directement à partir des équations normales pondérées.
Comment l'utiliser
Saisissez vos données, une ligne par couple, sous la forme x, y, f. Choisissez un type de régression. Indiquez si vous souhaitez estimer y à partir d'un x donné, ou x à partir d'un y donné, puis saisissez la valeur connue. Sélectionnez le nombre de chiffres significatifs à afficher. Les lignes dont la fréquence est nulle ou vide sont ignorées, et les modèles qui exigent des x ou des y positifs (logarithmique, exponentiel, puissance) nécessitent des valeurs valides.
Exemple détaillé
Données (x, y, f) : (1,2,3), (2,4,5), (3,5,2), (4,8,4), (5,9,1). Pour le modèle linéaire, les sommes pondérées donnent \(N=15\), \(S_x=40\), \(S_y=77\), \(S_{xx}=130\), \(S_{xy}=249\). Le dénominateur vaut $$15\times130 - 40^{2} = 350,$$ d'où $$B = \frac{15\times249 - 40\times77}{350} = \frac{655}{350} = 1{,}8714$$ et $$A = \frac{77 - 1{,}8714\times40}{15} = 0{,}1429.$$ La corrélation \(r\) est d'environ 0,9879 (forte). L'estimation de y pour \(x=4\) donne $$0{,}1429 + 1{,}8714\times4 = 7{,}6286.$$
FAQ
À quoi sert la fréquence ? Elle pondère chaque observation : un couple de fréquence \(f=5\) pèse cinq fois plus dans l'ajustement qu'un couple de fréquence \(f=1\).
Pourquoi C est-il nul ? Le coefficient \(C\) n'existe que pour le modèle quadratique ; pour les six autres, il reste à zéro.
Que mesure r pour les modèles transformés ? Il s'agit de la corrélation de Pearson des variables linéarisées \((X, Y)\) ; ainsi, \(|r|=1\) signifie un ajustement parfait de la forme linéarisée, et non de la courbe d'origine.
