حاسبة انحدار المنحنيات الموزونة بالتكرار وتقدير القيم

أدخل الحساب

Data (table input): rows of x، y، f (frequency/weight) 1,2,3 2,4,5 3,5,2 4,8,4 5,9,1 One row per line as x، y، f. Rows with frequency 0 or blank are ignored.

نوع الانحدار خطي: y = A + B*x لوغاريتمي: y = A + B*ln(x) أسي بالأساس e: y = A*e^(B*x) أسي ab: y = A*B^x قُوّي: y = A*x^B عكسي: y = A + B/x تربيعي: y = A + B*x + C*x^2

التقدير x (أدخِل x، واحصل على y) y (أدخِل y، واحصل على x)

القيمة المراد التقدير منها (=)

عدد الأرقام (المعنوية) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

صيغة رياضية

نتائج

القيمة المقدّرة

٧٫٦٢٨٥٧١

from frequency-weighted fit (5 active points)

المعامل A	٠٫١٤٢٨٥٧١٤٢٩
المعامل B	١٫٨٧١٤٢٨٥٧١٤
المعامل C	٠
معامل الارتباط r	٠٫٩٨٧٨٩٨٨٠٠٥

Correlation strength: 0.7 < |r| ≤ 1 strong; 0.4 < |r| < 0.7 moderate; 0.2 < |r| < 0.4 weak; 0 ≤ |r| < 0.2 none. C is non-zero only for the Quadratic model.

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تقوم هذه الأداة بمطابقة منحنى انحدار على جدول توزيع تكراري للنقاط. يتكوّن كل صف من ثلاثية (x، y، f)، حيث يمثّل x القيمة المستقلة، وy القيمة التابعة، وf التكرار (الوزن) الذي يبيّن عدد مرات تكرار هذا الزوج. تختار أنت أحد سبعة أشكال للمنحنيات، فتجري الحاسبة مطابقة بالمربعات الصغرى الموزونة بالتكرار، ثم تعرض لك المعاملات ومعامل الارتباط وقيمة مقدّرة. وهي عملية رياضية بحتة تصلح للاستخدام في أي مكان.

النماذج السبعة

الخطي: \( y = A + Bx \). اللوغاريتمي: \( y = A + B\ln x \). الأسي بالأساس e: \( y = A\,e^{Bx} \). الأسي ab: \( y = A\,B^{x} \). القُوّي: \( y = A\,x^{B} \). العكسي: \( y = A + \frac{B}{x} \). التربيعي: \( y = A + Bx + Cx^{2} \). يُحوّل كل نموذج غير تربيعي إلى الصيغة الخطية \( Y = a + bX \) باستخدام تحويل مناسب (لوغاريتم أو مقلوب) قبل المطابقة، ثم يُعاد تحويل النتيجة إلى A وB. أمّا النموذج التربيعي فيُحلّ مباشرةً من المعادلات الطبيعية الموزونة.

نماذج المنحنى السبعة: ملاءمات خطية ولوغاريتمية وأُسية وقُوّية وعكسية وتربيعية لنقاط متناثرة.

كيفية الاستخدام

أدخِل بياناتك بمعدّل صف واحد في كل سطر بالصيغة x، y، f. اختر نوع الانحدار. حدّد ما إذا كنت تريد تقدير y انطلاقًا من قيمة x معطاة، أم تقدير x انطلاقًا من قيمة y معطاة، ثم اكتب القيمة المعلومة. اختر عدد الأرقام المعنوية المراد عرضها. تُتجاهَل الصفوف التي يكون تكرارها صفرًا أو فارغًا، كما أنّ النماذج التي تتطلّب قيم x أو y موجبة (اللوغاريتمي والأسي والقُوّي) تحتاج إلى قيم صالحة.

اعلان

مثال محلول

البيانات (x، y، f): ‏(1,2,3)، ‏(2,4,5)، ‏(3,5,2)، ‏(4,8,4)، ‏(5,9,1). في النموذج الخطي تعطي المجاميع الموزونة: \( N=15 \)، \( Sx=40 \)، \( Sy=77 \)، \( Sxx=130 \)، \( Sxy=249 \). والمقام هو $$15 \times 130 - 40^{2} = 350$$ إذًا $$B = \frac{15 \times 249 - 40 \times 77}{350} = \frac{655}{350} = 1.8714$$ وَ $$A = \frac{77 - 1.8714 \times 40}{15} = 0.1429$$ ويبلغ معامل الارتباط \(r\) نحو \( 0.9879 \) (قوي). وبتقدير y عند \( x=4 \) نحصل على $$0.1429 + 1.8714 \times 4 = 7.6286$$

الترجيح بالتكرار: النقاط الأكبر تُحتسب أكثر، فتجذب خط الملاءمة نحو البيانات الأثقل وزنًا.

الأسئلة الشائعة

ما دور التكرار؟ إنّه يمنح وزنًا لكل ملاحظة، فالزوج الذي تكراره \( f=5 \) يؤثّر في المطابقة بخمسة أضعاف تأثير الزوج الذي تكراره \( f=1 \).

لماذا يكون C صفرًا؟ المعامل C موجود فقط في النموذج التربيعي؛ أمّا في النماذج الستة الأخرى فيبقى صفرًا.

ماذا يقيس r في النماذج المحوَّلة؟ إنّه معامل ارتباط بيرسون للمتغيّرين المحوَّلين خطيًا (X، Y)، لذا فإنّ \( |r|=1 \) يعني مطابقة تامة للصيغة الخطية المحوَّلة لا للمنحنى الأصلي.