이 계산기의 기능
이 도구는 점들의 도수분포표에 회귀 곡선을 적합시킵니다. 각 행은 세 값의 묶음 (x, y, f)로 이루어지며, 여기서 x는 독립변수, y는 종속변수, f는 그 쌍이 몇 번 나타났는지를 나타내는 도수(가중치)입니다. 7가지 곡선 형태 중 하나를 선택하면 계산기가 도수 가중 최소제곱법으로 적합을 수행한 뒤 계수, 상관계수, 추정값을 알려줍니다. 순수한 수학이므로 어떤 분야에서든 그대로 적용할 수 있습니다.
7가지 모델
선형: \(y = A + Bx\). 로그: \(y = A + B\ln x\). e-지수: \(y = A\,e^{Bx}\). ab-지수: \(y = A\,B^{x}\). 거듭제곱: \(y = A\,x^{B}\). 역수: \(y = A + \frac{B}{x}\). 이차: \(y = A + Bx + Cx^{2}\). 이차식을 제외한 모든 모델은 적합 전에 로그나 역수 같은 적절한 변환을 거쳐 \(Y = a + bX\) 형태로 선형화한 뒤, 그 결과를 다시 \(A\)와 \(B\)로 역변환합니다. 이차 모델은 가중 정규방정식에서 직접 풉니다.
사용 방법
데이터를 한 줄에 한 행씩 x, y, f 형식으로 입력하세요. 회귀 유형을 고르고, 주어진 x로 y를 추정할지 또는 주어진 y로 x를 추정할지 선택한 다음 알고 있는 값을 입력합니다. 표시할 유효숫자 자릿수도 지정하세요. 도수가 0이거나 비어 있는 행은 무시되며, 양수 x나 y가 필요한 모델(로그, 지수, 거듭제곱)은 유효한 값이 있어야 합니다.
계산 예시
데이터 (x, y, f): (1,2,3), (2,4,5), (3,5,2), (4,8,4), (5,9,1). 선형 모델의 경우 가중 합은 \(N=15\), \(S_x=40\), \(S_y=77\), \(S_{xx}=130\), \(S_{xy}=249\)가 됩니다. 분모는 $$15 \times 130 - 40^{2} = 350$$이므로 $$B = \frac{15 \times 249 - 40 \times 77}{350} = \frac{655}{350} = 1.8714,$$ $$A = \frac{77 - 1.8714 \times 40}{15} = 0.1429$$입니다. 상관계수 \(r\)은 약 \(0.9879\)(강한 상관)입니다. \(x=4\)에서 y를 추정하면 $$0.1429 + 1.8714 \times 4 = 7.6286$$이 됩니다.
자주 묻는 질문
도수(frequency)는 어떤 역할을 하나요? 각 관측값에 가중치를 부여합니다. 즉 \(f=5\)인 쌍은 \(f=1\)인 쌍보다 적합에 5배 더 큰 영향을 줍니다.
왜 C가 0인가요? 계수 \(C\)는 이차 모델에서만 존재합니다. 나머지 6개 모델에서는 항상 0으로 유지됩니다.
변환된 모델에서 r은 무엇을 측정하나요? 선형화한 \((X, Y)\) 변수에 대한 피어슨 상관계수입니다. 따라서 \(|r|=1\)은 원래 곡선이 아니라 선형화된 형태가 완벽하게 적합되었음을 의미합니다.
