가중 곡선 회귀 계산기란?
이 도구는 (x, y, 빈도) 형식의 데이터 표에 7가지 곡선 모델 중 하나를 빈도 가중 최소제곱법(frequency-weighted least squares)으로 적합합니다. 각 데이터 점은 빈도 f만큼 반복 계산되므로, 같은 관측값이 여러 번 나타나면 그 비율만큼 결과에 더 큰 영향을 줍니다. 순수 수학·통계 도구이므로 국가나 지역에 상관없이 동일하게 적용됩니다.
사용 방법
한 줄에 한 행씩 x y f 순서로 입력하세요(값은 공백 또는 쉼표로 구분). 빈도 \(f\)는 선택 사항이며 생략하면 1로 처리되고, 0 이상이어야 합니다. 회귀 유형과 표시할 유효 숫자 자릿수를 선택하면 적합된 계수 \(A\), \(B\)(이차 모델은 \(C\)까지), 회귀식, 그리고 상관계수 \(r\)을 확인할 수 있습니다.
계산 공식
대부분의 모델은 선형화하여 계산합니다. 변환된 변수 \(X\), \(Y\)와 가중치 \(w=f\)를 사용해 \(N=\Sigma w\)를 구한 뒤, $$S_{xx}=\Sigma wX^2-\frac{(\Sigma wX)^2}{N},\quad S_{yy}=\Sigma wY^2-\frac{(\Sigma wY)^2}{N},\quad S_{xy}=\Sigma wXY-\frac{(\Sigma wX)(\Sigma wY)}{N}$$ 을 계산합니다. 기울기 \(b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}\), 절편 \(a=\bar{Y}-b\cdot\bar{X}\), 상관계수 \(r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}\cdot S_{yy}}}\)입니다. 계수 \(A\), \(B\)는 각 모델에 맞게 역변환합니다. 이차식 \(y=A+Bx+Cx^2\)은 가중 \(3\times3\) 정규방정식을 풀어 적합하며, 이때 \(r\)은 다중상관 \(\sqrt{R^2}\)로 구합니다.
계산 예시
선형 모델에서 행 (1,2,1), (2,3,2), (3,5,1)을 사용하면 \(N=4\), \(\Sigma wx=8\), \(\Sigma wy=13\), \(\Sigma wx^2=18\), \(\Sigma wxy=29\), \(\Sigma wy^2=47\)이 됩니다. 따라서 \(S_{xx}=2\), \(S_{xy}=3\), \(S_{yy}=4.75\)이고, \(B=1.5\), \(A=0.25\), \(r=\frac{3}{\sqrt{9.5}}=0.9733\)입니다. 적합된 회귀식은 $$y = 0.25 + 1.5\cdot x$$ 입니다.
자주 묻는 질문
상관계수는 무엇을 의미하나요? \(0.7<|r|\le1\)이면 강한 상관, \(0.4<|r|<0.7\)이면 보통, \(0.2<|r|<0.4\)이면 약한 상관, \(0\le|r|<0.2\)이면 상관 없음으로 봅니다.
일부 모델이 적용되지 않는 이유는? 로그·거듭제곱 모델은 \(x>0\)이어야 하고, e-지수·ab-지수·거듭제곱 모델은 \(y>0\)이어야 하며, 역수 모델은 \(x\ne0\)이어야 합니다. 변환 과정에서 \(\ln\) 또는 \(1/x\)를 사용하기 때문입니다.
유효 자릿수를 바꾸면 답이 달라지나요? 아니요, 표시되는 자릿수만 달라질 뿐 실제 계산 결과는 변하지 않습니다.
