포물선 운동 계산기란?
이 계산기는 일정한 속도와 각도로 발사된 물체의 비행 경로를 공기 저항이 없는 조건에서 모델링합니다. 수평 도달거리, 도달하는 최고 높이, 총 비행 시간, 그리고 속도 성분까지 계산해 줍니다. 이 운동의 궤도는 고전적인 포물선 식 \(y = x\tan(\theta) - \dfrac{\text{g}\,x^2}{2v^2\cos^2\theta}\)로 표현되며, 여기서 x는 수평 이동 거리, y는 발사 지점을 기준으로 한 높이를 의미합니다.
사용 방법
초기 속도(발사 속도, 단위는 m/s), 수평면을 기준으로 측정한 발사 각도(도 단위), 그리고 선택 사항으로 지면 위 초기 발사 높이를 입력하세요. 중력 가속도는 기본값으로 9.81 m/s²(지구)이 설정되어 있지만, 다른 행성을 가정하거나 교과서에서 자주 쓰는 10처럼 깔끔한 값으로 바꿀 수도 있습니다. '계산하기'를 누르면 운동에 관한 모든 결과를 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
수평 방향 속도는 \(v_x = v\cos(\theta)\)이며 일정하게 유지됩니다. 수직 방향 속도 \(v_y = v\sin(\theta)\)는 중력의 영향으로 점점 줄어듭니다. 수직 운동식 \(h + v_y t - \tfrac{1}{2}\text{g}t^2 = 0\)을 풀면 비행 시간이 나오고, 여기에 \(v_x\)를 곱하면 도달거리를 구할 수 있습니다.
$$R = v_x \cdot t_f$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} v_x &= \text{v}\cos\!\left(\text{angle}\right) \\ v_y &= \text{v}\sin\!\left(\text{angle}\right) \\ t_f &= \dfrac{v_y + \sqrt{v_y^{2} + 2\,\text{g}\,\text{h}}}{\text{g}} \end{aligned} \right.$$
최고 높이는 \(h + \dfrac{v_y^2}{2\text{g}}\)이며, 발사 후 \(\dfrac{v_y}{\text{g}}\) 시점에 도달합니다.
$$H_{max} = \text{h} + \dfrac{\left(\text{v}\sin\!\left(\text{angle}\right)\right)^{2}}{2\,\text{g}}$$
$$t_{apex} = \dfrac{\text{v}\sin\!\left(\text{angle}\right)}{\text{g}}$$
계산 예시
\(v = 20\ \text{m/s}\), \(\theta = 45°\), \(h = 0\), \(\text{g} = 9.81\)로 발사하는 경우를 살펴봅시다. 이때 $$v_y = 20\cdot\sin 45° \approx 14.142$$ $$t_f = \frac{2\cdot 14.142}{9.81} \approx 2.883\ \text{초}$$ $$R = 14.142 \times 2.883 \approx 40.77\ \text{m}$$ $$H_{max} = \frac{14.142^2}{2\cdot 9.81} \approx 10.19\ \text{m}$$가 됩니다.
자주 묻는 질문
어떤 각도에서 가장 멀리 날아가나요? 평평한 지면에서는 45°일 때 도달거리가 최대가 됩니다. 발사 지점에 높이가 있다면 최적 각도는 45°보다 살짝 작아집니다.
공기 저항이 반영되나요? 아니요. 이 계산기는 진공 상태를 가정한 이상적인 발사체 운동을 다룹니다. 짧은 거리를 이동하는 느리고 밀도가 높은 물체에 대해 정확합니다.
달에서도 사용할 수 있나요? 네, 가능합니다. 중력값을 달은 1.62 m/s², 화성은 3.71로 바꿔 입력하면 됩니다.
