가중 곡선 회귀분석 계산기란?
이 도구는 도수(빈도)로 가중된 데이터에 원하는 곡선 모형을 적합시키는 범용 통계 계산기입니다. (x, y, 도수) 형태의 데이터를 입력하고 선형, 로그, e-지수, ab-지수, 거듭제곱, 역수, 이차 중에서 모형을 선택하면, 적합된 계수(이차의 경우 A, B, C), 상관계수 \(r\), 그리고 상관 강도를 이해하기 쉬운 말로 풀어 알려줍니다. 순수한 수학 계산이므로 국가나 단위에 상관없이 어디서나 그대로 사용할 수 있습니다.
사용 방법
한 행에 세 개의 숫자(x, y, 도수)를 쉼표 또는 공백으로 구분해 입력하세요. 도수(가중치)는 해당 (x, y) 쌍이 몇 번 나타나는지를 의미하며, 비워 두면 기본값 1(가중치 없음)로 처리됩니다. 모형을 선택한 뒤 제출하면 됩니다. 서로 다른 점이 최소 2개(이차 모형은 3개) 필요합니다. 로그 모형과 거듭제곱 모형은 x > 0, 지수 모형과 거듭제곱 모형은 y > 0, 역수 모형은 x ≠ 0 이어야 합니다.
공식 설명
대부분의 모형은 선형화를 통해 적합시킵니다. 즉 x 또는 y를 변환해 (X, Y)로 만들어 관계식이 직선 \(Y = a + b\cdot X\) 가 되도록 한 뒤, 가중치 \(w_i = f_i\) 를 적용한 가중 최소제곱법으로 적합시킵니다. \(N = \sum w\) 라 할 때 기울기는 $$b = \frac{N\cdot S_{xy} - S_x\cdot S_y}{N\cdot S_{xx} - S_x^{2}},$$ 절편은 $$a = \frac{S_y - b\cdot S_x}{N}$$ 이며, 여기서 각 합은 모두 가중합입니다. 피어슨 상관계수 \(r\)은 변환된 공간에서 계산됩니다. e-지수와 ab-지수 모형은 \(\ln(y)\)를 x에 대해, 거듭제곱 모형은 \(\ln(y)\)를 \(\ln(x)\)에 대해, 역수 모형은 y를 \(1/x\)에 대해 적합시킵니다. 이차 모형은 3×3 가중 정규방정식을 직접 풀고 다중상관계수 \(R = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}\)를 함께 보고합니다.
계산 예시
점 (x, y, f): (1,2,1),(2,3,1),(3,5,1),(4,4,1),(5,6,1), 선형 모형. \(N=5\), \(S_x=15\), \(S_y=20\), \(S_{xx}=55\), \(S_{xy}=69\), \(S_{yy}=90\). 따라서 $$b = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9,$$ $$a = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3.$$ 즉 \(y = 1.3 + 0.9x\) 이고, $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$$ 로 강한 상관관계를 보입니다.
자주 묻는 질문
도수 열은 어떤 역할을 하나요? 각 점에 가중치를 부여합니다. 도수가 3이면 모든 합 계산에서 그 쌍을 세 번 센 것과 같으며, 이는 도수분포표와 정확히 같은 방식입니다. 도수가 0이면 해당 행은 제외됩니다.
상관 강도는 어떻게 분류하나요? \(|r|\) 값을 기준으로 합니다. 0.7 초과는 강함, 0.4~0.7은 보통, 0.2~0.4는 약함, 0.2 이하는 상관관계 없음입니다.
오류가 나는 이유는 무엇인가요? 모든 X 값이 동일하면 분모가 0이 되어 유일한 직선을 구할 수 없거나, 데이터가 모형의 정의역을 벗어난 경우(예: 지수 모형에서 0 이하의 y)입니다.
