加权（频数）曲线回归计算器

系数 A	1.3
系数 B	0.9
相关系数 r	0.9
相关强度	strong correlation

什么是加权曲线回归计算器？

这是一款通用的统计工具，能够对带频数权重的数据集拟合你所选定的曲线模型。你只需逐行输入 (x, y, 频数) 数据，再选择一种模型——线性、对数、e 指数、ab 指数、幂函数、反比例或二次函数，计算器便会返回拟合后的回归系数（A、B，二次模型还包括 C）、相关系数 $r$，以及对相关强度的通俗解读。它完全基于纯数学运算，因此适用于任何场景，不涉及国家法规或特定单位。

加权数据点的散点图及拟合曲线，点越大表示频率权重越高 — 每个点的频率权重（点的大小）会影响拟合的回归曲线。

使用方法

每行输入三个数字，用逗号或空格分隔：x、y、频数。频数（权重）表示该 (x, y) 点出现的次数；若留空，则默认为 1（即不加权）。选好模型后点击提交即可。请至少输入 2 个不同的数据点（二次模型需 3 个）。对数和幂函数模型要求 $x > 0$；指数和幂函数模型要求 $y > 0$；反比例模型要求 $x \ne 0$。

公式详解

大多数模型采用线性化方法进行拟合：先将 x 和/或 y 变换为 (X, Y)，使关系式变成一条直线 $Y = a + b\cdot X$，再以权重 $w_i = f_i$ 进行加权最小二乘拟合。设 $N = \Sigma w$，则斜率 $$b = \frac{N\cdot S_{xy} - S_x\cdot S_y}{N\cdot S_{xx} - S_x^{2}}$$ 截距 $$a = \frac{S_y - b\cdot S_x}{N}$$ 其中各求和项均为加权求和。皮尔逊相关系数 $r$ 在变换后的空间中计算。对于 e 指数和 ab 指数模型，我们用 $\ln(y)$ 对 $x$ 拟合；幂函数模型用 $\ln(y)$ 对 $\ln(x)$ 拟合；反比例模型用 $y$ 对 $1/x$ 拟合。二次模型则直接求解 3×3 的加权正规方程，并给出复相关系数 $R = \sqrt{1 - \text{SSE}/\text{SST}}$。

六个小图分别展示线性、对数、指数、幂、反比和二次曲线形状 — 计算器可拟合到你数据的六种曲线模型。

实例演示

数据点 (x, y, f)：(1,2,1)、(2,3,1)、(3,5,1)、(4,4,1)、(5,6,1)，采用线性模型。$N=5$，$S_x=15$，$S_y=20$，$S_{xx}=55$，$S_{xy}=69$，$S_{yy}=90$。则 $$b = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$ $$a = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$ 因此拟合直线为 $y = 1.3 + 0.9x$，相关系数 $r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$——属于强相关。