ما هي حاسبة انحدار المنحنى الموزون؟
هذه أداة إحصائية شاملة تُطابق نموذج منحنى تختاره مع مجموعة بيانات موزونة بالتكرار. كل ما عليك هو إدخال صفوف من القيم (x، y، التكرار)، ثم اختيار نموذج — خطي، لوغاريتمي، أسي بالأساس e، أسي بالصيغة ab، قوة، عكسي، أو تربيعي — لتعيد لك الأداة المعاملات المُطابَقة (A وB، إضافة إلى C في النموذج التربيعي)، ومعامل الارتباط \(r\)، مع تفسير واضح بلغة بسيطة لقوة هذا الارتباط. وبما أنها رياضيات بحتة، فهي صالحة في أي مكان دون ارتباط بنظام دولة معينة أو وحدات قياس بذاتها.
طريقة الاستخدام
أدخل بياناتك بمعدل ثلاثة أرقام في كل صف، مفصولة بفواصل أو مسافات: x، y، التكرار. والتكرار (أي الوزن) هو عدد مرات حدوث الزوج (x,y)؛ فإذا تركته فارغًا فإن قيمته الافتراضية هي 1 (أي بلا وزن). اختر النموذج ثم اضغط للحساب. استخدم نقطتين متمايزتين على الأقل (وثلاثًا للنموذج التربيعي). يتطلب النموذجان اللوغاريتمي والقوة أن تكون \(x > 0\)، ويتطلب النموذجان الأسي والقوة أن تكون \(y > 0\)، أما النموذج العكسي فيشترط أن تكون \(x \ne 0\).
شرح المعادلة
تُطابَق معظم النماذج عبر التحويل إلى صيغة خطية: نحوّل x و/أو y إلى (X، Y) بحيث تصبح العلاقة خطًا مستقيمًا \(Y = a + b\cdot X\)، ثم نُجري مطابقة المربعات الصغرى الموزونة بالأوزان \(w_i = f_i\). وبفرض \(N = \Sigma w\)، يكون الميل $$b = \frac{N\cdot S_{xy} - S_x\cdot S_y}{N\cdot S_{xx} - S_x^{2}}$$ والمقطع $$a = \frac{S_y - b\cdot S_x}{N}$$ حيث تكون المجاميع موزونة. ويُحسب معامل بيرسون \(r\) في الفضاء المُحوَّل. ففي النموذجين الأسي بالأساس e والأسي ab نُطابِق \(\ln(y)\) مع x؛ وفي نموذج القوة نُطابِق \(\ln(y)\) مع \(\ln(x)\)؛ وفي النموذج العكسي نُطابِق y مع \(1/x\). أما النموذج التربيعي فيحلّ معادلات الحالة الطبيعية الموزونة 3×3 مباشرة، ويُعطي معامل الارتباط المتعدد \(R = \sqrt{1 - SSE/SST}\).
مثال محلول
النقاط (x,y,f): (1,2,1)، (2,3,1)، (3,5,1)، (4,4,1)، (5,6,1)، باستخدام النموذج الخطي. \(N=5\)، \(S_x=15\)، \(S_y=20\)، \(S_{xx}=55\)، \(S_{xy}=69\)، \(S_{yy}=90\). ومن ثَمّ $$b = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$ و $$a = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$ فتكون المعادلة \(y = 1.3 + 0.9x\)، مع $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$$ — أي ارتباط قوي.
الأسئلة الشائعة
ما وظيفة عمود التكرار؟ يمنح كل نقطة وزنًا: فالتكرار 3 يَحسب الزوج ثلاث مرات في كل مجموع، تمامًا كما في جدول التوزيع التكراري. أما التكرار 0 فيُسقِط الصف من الحساب.
كيف تُصنَّف قوة الارتباط؟ بحسب القيمة المطلقة \(|r|\): أكبر من 0.7 ارتباط قوي، ومن 0.4 إلى 0.7 متوسط، ومن 0.2 إلى 0.4 ضعيف، و0.2 فأقل يعني انعدام الارتباط.
لماذا قد تظهر لي رسالة خطأ؟ إذا كانت جميع قيم X متطابقة فإن المقام يساوي صفرًا ولا يوجد خط فريد، أو إذا خالفت بياناتك مجال النموذج (مثل قيمة y غير موجبة مع نموذج أسي).
