Công cụ tính hồi quy đường cong có trọng số là gì?
Đây là một công cụ thống kê đa năng giúp khớp một mô hình đường cong tùy chọn vào tập dữ liệu có trọng số theo tần số. Bạn chỉ cần nhập các hàng dữ liệu dạng (x, y, tần số) rồi chọn mô hình — Tuyến tính, Logarit, Hàm mũ cơ số e, Hàm mũ ab, Lũy thừa, Nghịch đảo hoặc Bậc hai — và công cụ sẽ trả về các hệ số đã khớp (A, B, và thêm C cho mô hình bậc hai), hệ số tương quan r, cùng phần diễn giải dễ hiểu về mức độ tương quan. Vì đây thuần túy là toán học nên công cụ áp dụng được ở mọi nơi, không phụ thuộc vào quốc gia hay đơn vị đo nào.
Cách sử dụng
Nhập dữ liệu với ba con số trên mỗi hàng, ngăn cách bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng: x, y, tần số. Tần số (trọng số) cho biết cặp (x, y) đó xuất hiện bao nhiêu lần; nếu để trống, giá trị mặc định là 1 (không trọng số). Hãy chọn mô hình rồi bấm tính. Cần ít nhất 2 điểm khác nhau (3 điểm với mô hình bậc hai). Mô hình Logarit và Lũy thừa đòi hỏi x > 0; mô hình hàm mũ và lũy thừa đòi hỏi y > 0; mô hình nghịch đảo đòi hỏi x ≠ 0.
Giải thích công thức
Hầu hết các mô hình được khớp bằng cách tuyến tính hóa: biến đổi x và/hoặc y thành (X, Y) để mối quan hệ trở thành đường thẳng \(Y = a + b\cdot X\), rồi thực hiện khớp bình phương tối thiểu có trọng số với trọng số \(w_i = f_i\). Với \(N = \sum w\), hệ số góc là $$b = \frac{N\cdot S_{xy} - S_x\cdot S_y}{N\cdot S_{xx} - S_x^2}$$ và hệ số chặn $$a = \frac{S_y - b\cdot S_x}{N},$$ trong đó tất cả các tổng đều có trọng số. Hệ số tương quan Pearson \(r\) được tính trong không gian đã biến đổi. Với mô hình hàm mũ cơ số e và hàm mũ ab, ta khớp \(\ln(y)\) theo \(x\); với mô hình Lũy thừa ta khớp \(\ln(y)\) theo \(\ln(x)\); mô hình Nghịch đảo khớp \(y\) theo \(1/x\). Mô hình Bậc hai giải trực tiếp hệ phương trình chuẩn 3×3 có trọng số và báo cáo hệ số tương quan bội $$R = \sqrt{1 - \frac{SSE}{SST}}.$$
Ví dụ minh họa
Các điểm (x, y, f): (1,2,1), (2,3,1), (3,5,1), (4,4,1), (5,6,1), dùng mô hình Tuyến tính. Ta có \(N=5\), \(S_x=15\), \(S_y=20\), \(S_{xx}=55\), \(S_{xy}=69\), \(S_{yy}=90\). Khi đó $$b = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0{,}9$$ và $$a = \frac{20 - 0{,}9\cdot 15}{5} = 1{,}3.$$ Vậy \(y = 1{,}3 + 0{,}9x\), với $$r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0{,}9$$ — một mức tương quan mạnh.
Câu hỏi thường gặp
Cột tần số có tác dụng gì? Nó gán trọng số cho từng điểm: tần số bằng 3 nghĩa là cặp đó được tính ba lần trong mọi phép cộng, hệt như trong bảng phân phối tần số. Tần số bằng 0 sẽ loại bỏ hàng dữ liệu đó.
Mức độ tương quan được phân loại thế nào? Dựa vào \(|r|\): trên 0,7 là mạnh, từ 0,4–0,7 là trung bình, từ 0,2–0,4 là yếu, và từ 0,2 trở xuống là không có tương quan.
Vì sao tôi gặp lỗi? Nếu tất cả các giá trị X đều giống nhau thì mẫu số bằng 0 và không tồn tại đường thẳng duy nhất; hoặc nếu dữ liệu của bạn vi phạm miền xác định của mô hình (ví dụ y không dương khi dùng mô hình hàm mũ).
