频率加权对数回归计算器

输入计算

数学公式

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Correlation Coefficient (r)

Weighted Pearson correlation between ln(x) and y, using Syy = sum f y^2 - (sum f y)^2 / n.

结果

频率加权对数回归

y = 1.991941243 + 1.26168234 * ln(x)

strong correlation (r = 0.9583474891)

A (intercept of y = A + B·ln x)	1.991941243
B (slope coefficient of y = A + B·ln x)	1.26168234
相关系数 r	0.9583474891
Total weighted count n = Σ f	5
已使用的观测行数	5

这个计算器能做什么

本工具会向一组观测数据拟合形如 $y = A + B\cdot\ln(x)$ 的对数回归曲线，其中每一行都带有一个频率（权重）f。频率加权让你能够紧凑地录入分组数据或重复数据：与其把同一组 (x, y) 反复列出很多遍，你只需写一次并标注它出现的次数 f 即可。该方法属于纯粹的统计学计算，在任何场景下结果都完全一致——不涉及任何单位或国家／地区规则。

使用方法

每行录入一个观测分组，格式为 x y f。频率列是可选的；若省略，则每行默认计为一次（f = 1）。由于要对 x 取自然对数，因此每个 x 都必须大于零。请至少提供两行、且 x 取值互不相同的数据，这样才能唯一确定这条曲线。你可以选择显示精度（默认 10 位有效数字）——这只会影响所显示数值的四舍五入，绝不会改变底层的实际运算。

公式详解

设分组 i = 1..m，令 $n = \sum f_i$。加权均值为 $\text{meanLnX} = \dfrac{\sum f_i\cdot\ln x_i}{n}$ 与 $\text{meanY} = \dfrac{\sum f_i\cdot y_i}{n}$。加权平方和分别为 $S_{xx} = \sum f_i(\ln x_i)^2 - n\cdot\text{meanLnX}^2$、$S_{yy} = \sum f_i y_i^2 - n\cdot\text{meanY}^2$，以及 $S_{xy} = \sum f_i\cdot\ln x_i\cdot y_i - n\cdot\text{meanLnX}\cdot\text{meanY}$。于是 $$B = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}, \qquad A = \text{meanY} - B\cdot\text{meanLnX}, \qquad r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}}\,\sqrt{S_{yy}}}.$$

用较大圆点表示更高频率权重的数据点 — 每个点的频率权重由其大小表示，将曲线拉向权重更大的点。

在 x-y 坐标轴上穿过散点数据拟合的对数曲线 — 穿过散点数据拟合的对数曲线 $y = A + B\cdot\ln(x)$。

实例演算

取五行数据、且全部 f = 1——(1,2)、(2,3)、(3,3)、(4,4)、(5,4)——可得 $\text{meanLnX} = 0.9574984$，$\text{meanY} = 3.2$，$S_{xx} = 1.6154888$，$S_{yy} = 2.8$，$S_{xy} = 2.0382328$。由此算出 $B = 1.2616933$，$A = 1.9919295$，$r = 0.9583567$。拟合曲线为 $$y = 1.9919 + 1.2617\cdot\ln(x),$$ 相关性很强。