곡선 회귀분석 계산기 (선형·로그·거듭제곱)

계산 입력

결과

적합 방정식

y = 1.3 + 0.9x

based on 5 data points

A (절편 / 스케일)	1.3
B (기울기 / 지수)	0.9
상관계수 r	0.9
x 평균 (계산 과정)	3
y 평균 (계산 과정)	4

상관 강도 안내 (|r|):

0.7 < |r| ≤ 1 — strong correlation
0.4 < |r| < 0.7 — moderate correlation
0.2 < |r| < 0.4 — weak correlation
0 ≤ |r| < 0.2 — no correlation

이 계산기의 기능

곡선 회귀분석 계산기는 (x, y) 데이터 표에 원하는 수학 곡선을 적합시켜 줍니다. 적합된 계수(A, B, 그리고 2차 모델의 경우 C), 명시적인 적합 방정식, 그리고 곡선이 데이터와 얼마나 잘 맞는지 알려 주는 상관계수 $r$을 함께 제공합니다. 순수한 통계 계산이므로 어느 나라에서나 동일하게 적용되며, 모든 값은 단위가 없는 무차원 수입니다.

지원하는 모델

다음 일곱 가지 곡선 계열을 적합할 수 있습니다. 선형($y = A + B\,x$), 로그($y = A + B\ln x$), e-지수($y = A\,e^{B\,x}$), ab-지수($y = A\,B^{x}$), 거듭제곱($y = A\,x^{B}$), 역수($y = A + B/x$), 2차($y = A + B\,x + C\,x^{2}$)입니다. 2차를 제외한 모든 모델은 변수를 변환(로그나 역수를 취함)한 뒤 최소제곱법으로 적합하고, 그 계수를 다시 원래대로 역변환하는 방식으로 계산됩니다.

같은 축 위에 다양한 적합 곡선 형태를 보여주는 6개의 작은 산점도 — 지원되는 6가지 회귀 모델과 그 특징적인 곡선 형태.

사용 방법

한 줄에 (x, y) 쌍 하나씩 입력하세요. 예: 1,2. 드롭다운에서 회귀 유형을 고르고, 표시할 자릿수를 설정한 뒤 실행합니다. 로그와 거듭제곱 모델은 모든 x > 0이어야 하고, 지수와 거듭제곱 모델은 모든 y > 0이어야 하며, 역수 모델은 x ≠ 0이어야 합니다. 2차 모델은 최소 3개의 점이 필요합니다.

공식 설명

변환된 변수 u, v에 대해 최소제곱법은 기울기 $$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}}$$ 절편 $$A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}$$ 을 줍니다. 상관계수 $r$은 같은 분자를 x 변동항과 y 변동항의 곱의 제곱근으로 나눈 값입니다. 비선형 모델에서는 로그 공간에서 적합한 뒤 $\exp(\dots)$를 통해 A와 B를 복원합니다.

계산 예시 (선형)

데이터: (1,2), (2,3), (3,5), (4,4), (5,6). 여기서 $N=5$, $\sum x=15$, $\sum y=20$, $\sum x^{2}=55$, $\sum xy=69$, $\sum y^{2}=90$입니다. 그러면 $$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$ 이고 $$A = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$ 입니다. 적합된 직선은 $$y = 1.3 + 0.9x$$ 이며, $r = \dfrac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$로 강한 양의 상관관계를 보입니다.