ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تقوم حاسبة تحليل انحدار المنحنيات بمطابقة منحنى رياضي تختاره مع جدول من نقاط البيانات (س، ص). تُرجع لك المعاملات المطابِقة (A وB، وكذلك C في النموذج التربيعي)، والمعادلة الصريحة الناتجة، ومعامل الارتباط r الذي يقيس مدى توافق المنحنى مع بياناتك. هذه عملية إحصائية بحتة تنطبق بالطريقة نفسها في أي مكان — فجميع القيم أرقام مجرّدة بلا وحدات.
النماذج المدعومة
يمكنك مطابقة سبع عائلات من المنحنيات: الخطي (\(y = A + B\,x\))، اللوغاريتمي (\(y = A + B\ln x\))، الأُسّي بالأساس e (\(y = A\,e^{B\,x}\))، الأُسّي بالأساس ab (\(y = A\,B^{x}\))، القوّي (\(y = A\,x^{B}\))، العكسي (\(y = A + B/x\))، والتربيعي (\(y = A + B\,x + C\,x^{2}\)). تُطابَق كل النماذج غير التربيعية عبر تحويل المتغيرات (بأخذ اللوغاريتمات أو المقلوبات)، ثم تطبيق طريقة المربعات الصغرى العادية، وأخيرًا إعادة تحويل المعاملات إلى صورتها الأصلية.
طريقة الاستخدام
اكتب بياناتك بزوج (س، ص) واحد في كل سطر، مثل 1,2. اختر نوع الانحدار من القائمة المنسدلة، وحدّد عدد الأرقام المعروضة، ثم انقر للحساب. يتطلّب النموذجان اللوغاريتمي والقوّي أن تكون جميع قيم س أكبر من صفر؛ بينما يتطلّب النموذجان الأُسّي والقوّي أن تكون جميع قيم ص أكبر من صفر؛ ويتطلّب النموذج العكسي أن تكون \(x \neq 0\). أما النموذج التربيعي فيحتاج إلى ثلاث نقاط على الأقل.
شرح المعادلة
بالنسبة للمتغيرين المحوَّلين u وv، تُعطي طريقة المربعات الصغرى الميلَ والتقاطعَ كالآتي:
$$B = \frac{N\sum uv - \sum u\sum v}{N\sum u^{2} - (\sum u)^{2}} \qquad A = \frac{\sum v - B\sum u}{N}$$ويستخدم معامل الارتباط r البسطَ نفسه مقسومًا على الجذر التربيعي لحاصل ضرب حدَّي تباين س وص. أما في النماذج غير الخطية، فتُستعاد قيمتا A وB عبر الدالة \(\exp(\dots)\) بعد إجراء المطابقة في الفضاء اللوغاريتمي.
مثال محلول (خطي)
البيانات: (1،2)، (2،3)، (3،5)، (4،4)، (5،6). هنا \(N=5\)، \(\sum x=15\)، \(\sum y=20\)، \(\sum x^{2}=55\)، \(\sum xy=69\)، \(\sum y^{2}=90\). ومن ثَمّ
$$B = \frac{5\cdot 69 - 15\cdot 20}{5\cdot 55 - 225} = \frac{45}{50} = 0.9$$$$A = \frac{20 - 0.9\cdot 15}{5} = 1.3$$فيكون الخط المطابِق هو
$$y = 1.3 + 0.9\,x \qquad r = \frac{45}{\sqrt{50\cdot 50}} = 0.9$$وهو ارتباط موجب قوي.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني معامل الارتباط r؟ تشير القيم التي يتجاوز فيها \(|r|\) العتبة 0.7 إلى ارتباط قوي، ومن 0.4 إلى 0.7 إلى ارتباط متوسط، ومن 0.2 إلى 0.4 إلى ارتباط ضعيف، وأقل من 0.2 إلى انعدام الارتباط تقريبًا.
لماذا يرفض النموذج الأُسّي القيم السالبة لـ ص؟ لأن المطابقة تتم على \(\ln(y)\)، وهي غير معرّفة للقيم غير الموجبة، لذا تشترط هذه النماذج أن تكون ص أكبر من صفر.
أي نموذج ينبغي أن أختار؟ ارسم بياناتك أولًا: الخطوط المستقيمة تقريبًا تناسب النموذج الخطي، والنمو المتسارع يناسب النموذج الأُسّي أو القوّي، والمنحنيات ذات الانحناءة الواحدة تناسب النموذج التربيعي.
