ما هو منحنى السلسلة المتدلية؟
السلسلة المتدلية (Catenary) هي الشكل الذي تتخذه سلسلة أو كابل مرن معلّق بحرية تحت تأثير وزنه الخاص، ومثبّت من طرفيه فقط. وعلى الرغم من تشابهه مع القطع المكافئ، إلا أن المنحنى الحقيقي يُوصف بدالة جيب التمام الزائدي، أي \( y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right) \). ويحدد الثابت a مدى "عمق" المنحنى أو "استوائه": فكلما زادت قيمة a كان المنحنى أكثر استواءً وشدّاً، وكلما صغرت أصبح التدلّي أعمق.
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل ثابت السلسلة المتدلية a والموضع الأفقي x المقاس من أخفض نقطة (القمة أو الرأس). تُرجع الحاسبة ارتفاع المنحنى y، ومقدار التدلّي فوق القمة \((y - a)\)، والميل \((dy/dx)\) عند تلك النقطة. تقع القمة عند \(x = 0\) حيث تكون \(y = a\) والميل \(= 0\).
شرح المعادلة
يُحسب الارتفاع من $$y = a \cdot \cosh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ حيث cosh هي دالة جيب التمام الزائدي. وبإجراء الاشتقاق مرة واحدة نحصل على الميل، $$\frac{dy}{dx} = \sinh\!\left(\frac{x}{a}\right)$$ عند القمة (\(x = 0\)) تكون \(\cosh(0) = 1\) ومن ثَمّ \(y = a\)، وتكون \(\sinh(0) = 0\) فيكون المماس أفقياً. أما التدلّي بالنسبة إلى أخفض نقطة فهو ببساطة \(y - a\).
مثال محلول
لنأخذ \(a = 10\) و \(x = 5\). عندئذ يكون \(x/a = 0.5\). وبما أن \(\cosh(0.5) \approx 1.12763\)، فإن $$y = 10 \times 1.12763 \approx 11.2763$$ ويكون التدلّي \(y - a \approx 1.2763\)، والميل \(\sinh(0.5) \approx 0.52110\).
الأسئلة الشائعة
هل السلسلة المتدلية هي نفسها القطع المكافئ؟ لا. يتشابهان قرب القاع، لكن السلسلة المعلّقة تتبع دالة cosh، في حين أن القطع المكافئ (\(y = kx^2\)) يصف حِملاً موزّعاً بالتساوي على طول المحور الأفقي، مثل سطح جسر معلّق.
ماذا يمثّل الثابت a؟ إنه يساوي الشدّ الأفقي مقسوماً على الوزن لكل وحدة طول من الكابل، وهو أيضاً ارتفاع القمة فوق خط التوجيه (directrix).
لماذا لا يمكن أن يكون a صفراً؟ لأن قسمة x على a ضرورية، لذا فإن \(a = 0\) غير معرّفة؛ وفي هذه الحالة تُرجع الحاسبة القيمة صفراً.
