ماذا تفعل هذه الحاسبة
تقوم هذه الأداة بجدولة وتحليل القطع المكافئ الرأسي القياسي الذي يقع رأسه عند نقطة الأصل (0، 0) وتقع بؤرته عند النقطة (0، f) على المحور الصادي. معادلته هي \(x^2 = 4fy\)، أو بالصيغة الصريحة \(y = x^2 / (4f)\). ولأنها مبنية على الهندسة التحليلية البحتة، فإنها تعمل بالطريقة نفسها في أي مكان — إذ إن كل كمية فيها عدد حقيقي عديم الوحدة ضمن وحدة طول واحدة متّسقة.
طريقة الاستخدام
أدخِل البُعد البؤري f (وهو الإحداثي الصادي للبؤرة)، ثم اختر مجال قيم x الذي تريد أخذ عيّناته بتحديد قيمة دنيا وقيمة قصوى وعدد صفوف الجدول. تأخذ الحاسبة عيّنات متساوية المسافة من x بدءًا من xMin وحتى xMax، وتُرجع لك كل زوج (x، y)، إضافةً إلى معادلة القطع المكافئ وخط الدليل والبُعد البؤري والوتر القائم. تكون قيمة f الموجبة دالة على انفتاح المنحنى إلى الأعلى، بينما تدل القيمة السالبة على انفتاحه إلى الأسفل.
شرح الصيغة
القطع المكافئ هو مجموعة النقاط التي تبعد المسافة نفسها عن البؤرة وعن خط الدليل. وبوضع البؤرة عند (0، f) والدليل عند \(y = -f\)، ثم بمساواة المسافتين وتربيعهما، نحصل على \(x^2 = 4fy\). وخطوة أخذ العيّنات هي $$\text{step} = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{n_{\text{points}} - 1}$$ وكل نقطة تُحسب بالعلاقتين \(x_i = x_{\min} + i \cdot \text{step}\) و\(y_i = x_i^2 / (4f)\). أما الوتر البؤري الكامل (الوتر القائم) فطوله \(|4f|\)، ونصف طوله (نصف الوتر القائم) هو \(|2f|\).
مثال محلول
عند \(f = 1\) و\(x_{\min} = -2\) و\(x_{\max} = 2\) و5 نقاط، تكون الخطوة $$\frac{2 - (-2)}{5-1} = 1$$ مما يعطي \(x = -2, -1, 0, 1, 2\). وباستخدام \(y = x^2/4\) نحصل على \(y = 1, 0.25, 0, 0.25, 1\). فتكون المعادلة \(y = x^2/4\)، والدليل \(y = -1\)، والبُعد البؤري 1، والوتر القائم 4 — وطرفاه (-2، 1) و(2، 1) يطابقان صفّي \(x = \pm 2\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب ألا تساوي f صفرًا؟ إذا كانت \(f = 0\) فإن الصيغة تقتضي القسمة على صفر، وتنطبق البؤرة على الرأس، فيتلاشى القطع المكافئ. ولذلك ترفض الأداة هذه الحالة.
ما علاقة f بالصيغة \(y = a \cdot x^2\)؟ بمقارنة \(y = a x^2\) مع \(y = x^2/(4f)\) نجد أن \(a = 1/(4f)\)، ومن ثم \(f = 1/(4a)\).
هل يكون الجدول متماثلًا دائمًا؟ نعم — لأن y تعتمد على \(x^2\) فقط، لذا فإن مجالًا متماثلًا لـ x يُنتج عمود y متماثلًا.
