यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल उस मानक ऊर्ध्वाधर परवलय की तालिका बनाता और उसका विश्लेषण करता है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर और फोकस y-अक्ष पर स्थित बिंदु (0, f) पर होता है। इसका समीकरण है \(x^2 = 4fy\), या स्पष्ट रूप में \(y = x^2 / (4f)\)। चूँकि यह पूर्णतः विश्लेषणात्मक ज्यामिति (analytic geometry) पर आधारित है, यह हर जगह एक जैसा काम करता है — हर राशि एक ही लंबाई इकाई में आयाम-रहित वास्तविक संख्या होती है।
इसका उपयोग कैसे करें
फोकस दूरी f दर्ज करें (यानी फोकस का y-निर्देशांक), फिर वह x-परास चुनें जिसका आप नमूना लेना चाहते हैं — न्यूनतम मान, अधिकतम मान और तालिका की पंक्तियों की संख्या के साथ। कैलकुलेटर xMin से xMax तक x का समान अंतराल पर नमूना लेता है और हर (x, y) जोड़ी लौटाता है, साथ ही परवलय का समीकरण, नियता रेखा, नाभीय दूरी और नाभिलंब भी देता है। धनात्मक f होने पर वक्र ऊपर की ओर खुलता है; ऋणात्मक f होने पर नीचे की ओर।
सूत्र की व्याख्या
परवलय उन बिंदुओं का समूह है जो किसी फोकस और किसी नियता रेखा से समान दूरी पर होते हैं। फोकस को (0, f) पर और नियता को \(y = -f\) पर रखकर, दोनों दूरियों को बराबर करके वर्ग करने पर हमें \(x^2 = 4fy\) मिलता है। नमूना चरण है $$\text{step} = \frac{\text{xMax} - \text{xMin}}{\text{numPoints} - 1}$$ और हर बिंदु है \(x_i = \text{xMin} + i \cdot \text{step}\), \(y_i = x_i^2 / (4f)\)। पूर्ण नाभीय जीवा (नाभिलंब) की लंबाई \(|4f|\) होती है, और उसका आधा (अर्ध-नाभिलंब) \(|2f|\) होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लें f = 1, xMin = -2, xMax = 2 और 5 बिंदु; तब $$\text{step} = \frac{2 - (-2)}{5-1} = 1,$$ जिससे x = -2, -1, 0, 1, 2 मिलता है। \(y = x^2/4\) का उपयोग करने पर y = 1, 0.25, 0, 0.25, 1 आता है। समीकरण है \(y = x^2/4\), नियता है \(y = -1\), नाभीय दूरी है 1 और नाभिलंब है 4 — जिसके सिरे (-2, 1) और (2, 1) हैं, जो x = ±2 वाली पंक्तियों से मेल खाते हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
f शून्य क्यों नहीं हो सकता? यदि f = 0 हो तो सूत्र में शून्य से भाग आ जाता है और फोकस शीर्ष पर ही आ जाता है, जिससे परवलय अपने अस्तित्व को खो देता है। इसलिए यह टूल इस स्थिति को स्वीकार नहीं करता।
f का \(y = a \cdot x^2\) से क्या संबंध है? \(y = a x^2\) की तुलना \(y = x^2/(4f)\) से करने पर \(a = 1/(4f)\) मिलता है, यानी \(f = 1/(4a)\)।
क्या तालिका हमेशा सममित होती है? हाँ — y केवल \(x^2\) पर निर्भर करता है, इसलिए सममित x-परास से सममित y-स्तंभ प्राप्त होता है।
