क्षितिज-दूरी कैलकुलेटर क्या है?
जब आप किसी समुद्र तट, ऊँची इमारत या पहाड़ की चोटी पर खड़े होते हैं, तो पृथ्वी का गोलाई आपके देखने की सीमा तय कर देती है — समतल और बाधा-रहित इलाके में आप एक हद तक ही दूर देख सकते हैं। यह कैलकुलेटर किसी भी आँख की ऊँचाई से क्षितिज तक की सीधी दृष्टि-रेखा दूरी और दिखने वाली ज़मीन या समुद्र का क्षेत्रफल निकालता है। इसमें पृथ्वी को WGS-84 भूमध्यरेखीय त्रिज्या \(R = 6{,}378\) किमी वाला एक चिकना गोला माना गया है, और साथ ही लगभग 6% का मानक वायुमंडलीय अपवर्तन भी जोड़ा गया है — क्योंकि प्रकाश हल्का-सा नीचे की ओर मुड़ता है, जिससे शुद्ध ज्यामिति की भविष्यवाणी से थोड़ा और दूर तक दिखाई देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
ड्रॉपडाउन से कोई तैयार प्रेक्षण-स्थान चुनें, या बस मीटर में अपनी आँख की ऊँचाई टाइप कर दें। ये प्रीसेट एक बच्चे की आँख के स्तर (1 मीटर) से लेकर माउंट फ़ूजी की चोटी (3,776 मीटर) तक हैं। कोई प्रीसेट चुनते ही ऊँचाई वाला फ़ील्ड अपने-आप भर जाता है; आप इसे जब चाहें बदल सकते हैं। परिणाम में क्षितिज तक की दूरी किलोमीटर में और दिखने वाला गोलाकार क्षेत्रफल वर्ग किलोमीटर में दिखता है।
सूत्र की व्याख्या
दृष्टि-रेखा पृथ्वी की सतह को बस छूते हुए गुज़रती है और एक समकोण त्रिभुज बनाती है, जिसका कर्ण \(R + h\) होता है और दूसरी भुजा \(R\)। इसलिए स्पर्श-रेखा दूरी $$d_{geom} = \sqrt{(R+h)^{2} - R^{2}} = \sqrt{h^{2} + 2Rh}$$ होती है। इसे 1.06 से गुणा करने पर 6% अपवर्तन जुड़ जाता है, यानी $$d = 1.06 \times \sqrt{h^{2} + 2Rh}$$ दिखने वाला क्षेत्र तब त्रिज्या \(d\) का एक वृत्त होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल $$A = \pi d^{2}$$ है। सभी लंबाइयाँ किलोमीटर में हैं, इसलिए मीटर में दर्ज ऊँचाई को 1000 से भाग दिया जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
टोक्यो स्काईट्री के दूसरे वेधशाला (2nd Observatory) से \(h = 450\) मीटर (0.450 किमी) पर: $$d_{geom} = \sqrt{0.450^{2} + 2 \times 6378.137 \times 0.450} = \sqrt{5740.53} = 75.77\ \text{किमी}$$ अपवर्तन के साथ, $$d = 1.06 \times 75.77 = 80.3\ \text{किमी}$$ दिखने वाला क्षेत्रफल $$A = \pi \times 80.3^{2} \approx 20{,}262\ \text{वर्ग किमी}$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
6% का गुणक क्यों जोड़ा जाता है? मानक वायुमंडलीय अपवर्तन प्रकाश को पृथ्वी की ओर मोड़ देता है, जिससे सामान्य परिस्थितियों में क्षितिज लगभग 6% तक और दूर खिसक जाता है।
क्या यह उस वस्तु की ऊँचाई को भी गिनता है जिसे मैं देख रहा हूँ? नहीं। यह केवल प्रेक्षक की ऊँचाई का उपयोग करता है। कोई ऊँची दूर की वस्तु इसलिए और दूर से दिखाई देती है क्योंकि उसकी अपनी ऊँचाई एक दूसरी क्षितिज-दूरी जोड़ देती है।
क्या यह क्षेत्रफल बिल्कुल सटीक है? यह दिखने वाले क्षेत्र को त्रिज्या \(d\) वाला एक समतल वृत्त मानता है। बहुत अधिक ऊँचाइयों पर यह असली गोलीय-टोपी (spherical-cap) क्षेत्रफल को थोड़ा बढ़ा-चढ़ाकर बताता है, पर रोज़मर्रा के दृष्टि-बिंदुओं के लिए यह काफ़ी सटीक है।
