यूक्लिडियन दूरी क्या होती है?
यूक्लिडियन दूरी का मतलब है किसी तल में दो बिंदुओं के बीच की सामान्य, सीधी रेखा वाली दूरी — यानी वही लंबाई जिसे आप स्केल (रूलर) से नापते हैं। दो-आयामी तल में हर बिंदु का एक x-निर्देशांक और एक y-निर्देशांक होता है। बिंदु A (x₁, y₁) और बिंदु B (x₂, y₂) के बीच की दूरी निकालने के लिए हम उनके बीच के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतर पर पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने पहले बिंदु (X₁, Y₁) और दूसरे बिंदु (X₂, Y₂) के निर्देशांक भरें। कैलकुलेटर तुरंत यूक्लिडियन दूरी बता देगा, साथ ही क्षैतिज बदलाव Δx और ऊर्ध्वाधर बदलाव Δy भी दिखाएगा, ताकि आप समझ सकें कि उत्तर कैसे बना। निर्देशांक धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव — किसी भी रूप में हो सकते हैं।
सूत्र को समझें
सूत्र है $$d = \sqrt{\left(\text{x}_2 - \text{x}_1\right)^2 + \left(\text{y}_2 - \text{y}_1\right)^2}$$ सबसे पहले x-निर्देशांकों को घटाकर \(\Delta x\) और y-निर्देशांकों को घटाकर \(\Delta y\) निकालें। फिर हर अंतर का वर्ग करें (इससे कोई भी ऋणात्मक चिह्न हट जाता है), दोनों वर्गों को जोड़ें और अंत में योग का वर्गमूल लें। वर्ग करने से यह पक्का हो जाता है कि दूरी हमेशा धनात्मक रहेगी — चाहे आप किसी भी बिंदु को A कहें या B।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए बिंदु A (0, 0) है और बिंदु B (3, 4) है। तब \(\Delta x = 3 - 0 = 3\) और \(\Delta y = 4 - 0 = 4\) होगा। वर्ग करने पर हमें 9 और 16 मिलते हैं, जिनका योग 25 है। $$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 25 का वर्गमूल 5 है, इसलिए दूरी ठीक 5 इकाई है — यही प्रसिद्ध 3-4-5 समकोण त्रिभुज है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। चूँकि अंतरों का वर्ग किया जाता है, इसलिए A और B को आपस में बदलने पर भी दूरी वही रहती है।
क्या यह ऋणात्मक निर्देशांकों के साथ काम करता है? हाँ। यह सूत्र किसी भी वास्तविक निर्देशांक के लिए काम करता है, चाहे वे ऋणात्मक हों या दशमलव में।
परिणाम किस इकाई में आता है? दूरी उसी इकाई में होती है जिसमें आपने निर्देशांक भरे हैं (पिक्सेल, मीटर, ग्रिड इकाई आदि)। कैलकुलेटर इसे सिर्फ "इकाई" के रूप में दिखाता है।
