वेक्टर्स के बीच यूक्लिडियन दूरी क्या है?
यूक्लिडियन दूरी, n-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं या वेक्टर्स के बीच की सीधी रेखा वाली दूरी होती है — यानी "जैसे पक्षी सीधा उड़ता है" वैसी दूरी। यह पाइथागोरस प्रमेय को किसी भी संख्या के आयामों तक विस्तारित करती है और ज्यामिति, मशीन लर्निंग, क्लस्टरिंग तथा डेटा साइंस में सबसे अधिक इस्तेमाल किए जाने वाले दूरी मापकों में से एक है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
वेक्टर A और वेक्टर B के घटकों को अल्पविराम (comma) से अलग की गई संख्याओं के रूप में दर्ज करें — उदाहरण के लिए 1, 2, 3 और 4, 6, 8। दोनों वेक्टर्स में घटकों की संख्या समान होनी चाहिए; यदि यह अलग-अलग हो, तो केवल शुरुआती मिलते-जुलते घटकों की ही तुलना की जाती है। दूरी, तुलना किए गए आयामों की संख्या और वर्ग अंतरों के योग को देखने के लिए "गणना करें" पर क्लिक करें।
सूत्र की व्याख्या
दूरी की गणना इस प्रकार की जाती है: $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$ प्रत्येक मिलते-जुलते घटक जोड़े के लिए, एक को दूसरे से घटाएँ, परिणाम का वर्ग करें ताकि ऋणात्मक मान धनात्मक मानों को रद्द न करें, फिर इन सभी वर्गों को जोड़ें, और अंत में कुल योग का वर्गमूल निकालें। वर्गमूल लेने से मान वापस अपनी मूल माप-इकाई के पैमाने पर आ जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(A = (1, 2, 3)\) और \(B = (4, 6, 8)\)। इनके अंतर हैं \(-3\), \(-4\) और \(-5\)। इनका वर्ग करने पर मिलते हैं \(9\), \(16\) और \(25\), जिनका योग \(50\) होता है। \(\sqrt{50}\) लगभग 7.0711 है। यही दोनों वेक्टर्स के बीच यूक्लिडियन दूरी है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि मेरे वेक्टर्स की लंबाई अलग-अलग हो तो क्या होगा? दूरी केवल समान लंबाई वाले वेक्टर्स के लिए ही सही ढंग से परिभाषित होती है। यह टूल छोटे वेक्टर की लंबाई तक के शुरुआती घटकों की ही तुलना करता है।
क्या यह 2D और 3D बिंदुओं के लिए काम करता है? हाँ — 2D बिंदुओं के लिए दो संख्याएँ और 3D बिंदुओं के लिए तीन संख्याएँ दर्ज करें; वही सूत्र लागू होता है।
यह मैनहट्टन दूरी से कैसे अलग है? मैनहट्टन दूरी, वर्ग या वर्गमूल लिए बिना केवल निरपेक्ष अंतरों (\(|\text{a}_i - \text{b}_i|\)) को जोड़ती है, यानी यह सीधी रेखा के बजाय अक्षों के साथ-साथ मापी गई दूरी होती है।
