什么是向量之间的欧氏距离？
欧氏距离指的是 n 维空间中两个点或两个向量之间的“直线距离”，也就是我们常说的“两点之间最短的那条线”。它把勾股定理推广到了任意维度，是几何学、机器学习、聚类分析和数据科学中最常用的距离度量之一。
如何使用这个计算器
把向量 A 和向量 B 的各个分量用英文逗号分隔后填入即可，例如 1, 2, 3 和 4, 6, 8。两个向量的分量个数最好相同；如果不一致，计算器只会比较两者重叠的前几个分量。点击“计算”，即可看到距离值、参与比较的维度数量，以及各分量差的平方和。
公式详解
距离的计算公式为 $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$。对每一对对应分量，先相减，再把差值平方（这样负值就不会与正值相互抵消），把所有平方值相加，最后对总和开平方根。开方这一步是为了把结果还原到与原始数据相同的量纲上。
实例演示
设 \(A = (1, 2, 3)\)，\(B = (4, 6, 8)\)。各分量的差分别为 −3、−4、−5。平方后得到 9、16、25，三者相加为 50。50 的平方根约等于 7.0711，这就是这两个向量之间的欧氏距离。
$$d = \sqrt{(1-4)^2 + (2-6)^2 + (3-8)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7.0711$$
常见问题
如果两个向量长度不一样怎么办？距离只有在两个向量长度相等时才有明确定义。本工具会按照较短向量的长度，比较两者开头的对应分量。
它适用于二维和三维的点吗？适用。二维点输入两个数字，三维点输入三个数字，公式完全一样。
它和曼哈顿距离有什么区别？曼哈顿距离是把各分量差的绝对值 \(|\text{A}_i - \text{B}_i|\) 直接相加，既不平方也不开方，衡量的是沿坐标轴方向的距离，而不是直线距离。
