ما هي المسافة الإقليدية بين المتجهات؟
المسافة الإقليدية هي المسافة المستقيمة (أقصر طريق مباشر) بين نقطتين أو متجهين في فضاء ذي n من الأبعاد. وهي تعميم لنظرية فيثاغورس على أي عدد من الأبعاد، وتُعدّ من أكثر مقاييس المسافة استخدامًا في الهندسة وتعلّم الآلة والتجميع العنقودي وعلوم البيانات.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مكوّنات المتجه (أ) والمتجه (ب) على هيئة أرقام مفصولة بفواصل — مثلًا 1, 2, 3 و4, 6, 8. يُفضّل أن يحتوي المتجهان على العدد نفسه من المكوّنات؛ وإذا اختلفا، فستُقارَن المكوّنات الأولى المشتركة فقط. اضغط على زر الحساب لتظهر لك المسافة، وعدد الأبعاد التي تمّت مقارنتها، ومجموع مربعات الفروق.
شرح المعادلة
تُحسب المسافة وفق الصيغة $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$ لكل زوج متطابق من المكوّنات، اطرح أحدهما من الآخر، ثم ربّع الناتج كي لا تلغي القيم السالبة القيم الموجبة، ثم اجمع جميع هذه المربعات، وأخيرًا خُذ الجذر التربيعي للمجموع. الجذر التربيعي يُعيد القيمة إلى مقياس القياس الأصلي.
مثال محلول
لنأخذ \(\text{أ} = (1, 2, 3)\) و \(\text{ب} = (4, 6, 8)\). الفروق هي −3 و−4 و−5. وعند تربيعها نحصل على 9 و16 و25، ومجموعها 50. والجذر التربيعي للعدد 50 يساوي تقريبًا \(\sqrt{50} \approx 7.0711\). وهذه هي المسافة الإقليدية بين المتجهين.
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان طول المتجهين مختلفًا؟ لا تُعرَّف المسافة تعريفًا دقيقًا إلا للمتجهات المتساوية الطول. تقارن هذه الأداة المكوّنات الأولى حتى طول المتجه الأقصر.
هل تعمل مع النقاط في بُعدين وثلاثة أبعاد؟ نعم — أدخل رقمين للنقاط ثنائية الأبعاد أو ثلاثة أرقام للنقاط ثلاثية الأبعاد؛ تُطبَّق الصيغة نفسها في الحالتين.
ما الفرق بينها وبين مسافة مانهاتن؟ تجمع مسافة مانهاتن القيم المطلقة للفروق \(\left|\text{A}_i - \text{B}_i\right|\) دون تربيع أو أخذ جذر، فهي تقيس المسافة على امتداد المحاور بدلًا من الخط المستقيم.
