ما هي المتطابقة الفيثاغورية؟
تُعَدّ المتطابقة الفيثاغورية، \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)، أهم علاقة أساسية في حساب المثلثات على الإطلاق. وهي مستمدة مباشرةً من دائرة الوحدة: فالنقطة الواقعة عند الزاوية θ تكون إحداثياتها (cos θ، sin θ)، ولأن هذه النقطة تقع على دائرة نصف قطرها 1، فإن نظرية فيثاغورس تمنحنا \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). تتيح لك هذه الحاسبة إدخال قيمة sin θ واختيار الربع، لتستخرج فورًا قيمة cos θ مع التأكد من تحقّق المتطابقة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل قيمة sin θ محصورة بين −1 و1. ثم حدّد ما إذا كانت cos θ موجبة (الزوايا في الربع الأول أو الرابع) أم سالبة (الربع الثاني أو الثالث). تحسب الأداة عندها $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ وتعرض قيمتي sin²θ وcos²θ، وتتحقّق من أن مجموعهما يساوي 1 تمامًا.
شرح الصيغة
بإعادة ترتيب المتطابقة نحصل على \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)، ومنه $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ غير أن الجذر التربيعي وحده لا يعطينا سوى المقدار — أما الإشارة فتتوقف على الربع الذي تقع فيه الزاوية، لأن جيب التمام يكون موجبًا في النصف الأيمن من دائرة الوحدة وسالبًا في النصف الأيسر. ولهذا السبب يصبح اختيار الربع أمرًا جوهريًا.
مثال محلول
لنفترض أن \(\sin\theta = 0.6\) وأن θ تقع في الربع الأول. عندئذٍ يكون \(\sin^2\theta = 0.36\)، وبالتالي \(\cos^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64\)، ومنه $$\cos\theta = +\sqrt{0.64} = 0.8$$ وللتحقق: \(0.36 + 0.64 = 1\) ✓. وهذه هي نسبة المثلث القائم الكلاسيكية من نمط 3-4-5 (أي 0.6 و0.8 و1).
الأسئلة الشائعة
لماذا توجد قيمتان محتملتان لـ cos θ؟ لأن عملية التربيع تُفقد المعلومة المتعلقة بالإشارة. فمن أجل أي قيمة لـ sin θ (باستثناء ±1)، توجد زاويتان — إحداهما بجيب تمام موجب والأخرى بجيب تمام سالب — تشتركان في القيمة نفسها لجيب الزاوية.
ماذا لو أدخلت \(\sin\theta = 1\)؟ عندها يكون \(\cos^2\theta = 0\)، وبالتالي \(\cos\theta = 0\) بصرف النظر عن الإشارة المختارة. وهذا يقابل الزاوية \(\theta = 90°\).
هل تصلح هذه المتطابقة لأي وحدة قياس؟ نعم — فالمتطابقة مستقلة عن الدرجات أو الراديان لأنها لا تتضمن سوى قيمتي sin θ وcos θ.
