पाइथागोरस सर्वसमिका क्या है?
पाइथागोरस सर्वसमिका, यानी \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), त्रिकोणमिति का सबसे बुनियादी संबंध है। यह सीधे इकाई वृत्त (यूनिट सर्कल) से निकलती है: कोण θ पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक \((\cos\theta, \sin\theta)\) होते हैं, और चूँकि यह बिंदु 1 त्रिज्या वाले वृत्त पर पड़ता है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से हमें \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) मिलता है। इस कैलकुलेटर में आप \(\sin\theta\) का मान दर्ज करें, चतुर्थांश चुनें और तुरंत \(\cos\theta\) निकाल लें — साथ ही यह भी पुष्टि कर लें कि सर्वसमिका सही बैठती है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
\(\sin\theta\) का मान −1 से 1 के बीच दर्ज करें। फिर चुनें कि \(\cos\theta\) धनात्मक है (पहले या चौथे चतुर्थांश में कोण) या ऋणात्मक है (दूसरे या तीसरे चतुर्थांश में)। कैलकुलेटर $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ की गणना करता है, \(\sin^2\theta\) और \(\cos^2\theta\) के मान दिखाता है, और यह जाँचता है कि इनका योग ठीक 1 बनता है।
सूत्र की व्याख्या
सर्वसमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\) मिलता है, इसलिए $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ अकेला वर्गमूल केवल परिमाण (मान) देता है — चिह्न इस बात पर निर्भर करता है कि कोण किस चतुर्थांश में है, क्योंकि इकाई वृत्त के दाएँ आधे भाग में कोज्या (कोसाइन) धनात्मक होती है और बाएँ आधे भाग में ऋणात्मक। यही वजह है कि चतुर्थांश चुनना ज़रूरी है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(\sin\theta = 0.6\) है और θ पहले चतुर्थांश में है। तब \(\sin^2\theta = 0.36\), इसलिए \(\cos^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64\), और \(\cos\theta = +\sqrt{0.64} = 0.8\)। जाँच करें: \(0.36 + 0.64 = 1\) ✓। यह म␇हूर 3-4-5 शैली के समकोण त्रिभुज का अनुपात है (0.6, 0.8, 1)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(\cos\theta\) के दो संभावित उत्तर क्यों आते हैं? क्योंकि वर्ग करने पर चिह्न की जानकारी खो जाती है। \(\sin\theta\) के किसी भी मान के लिए (±1 को छोड़कर) दो कोण होते हैं — एक जिसमें कोसाइन धनात्मक होता है और दूसरा जिसमें ऋणात्मक — और दोनों का साइन एक ही रहता है।
अगर मैं \(\sin\theta = 1\) दर्ज करूँ तो क्या होगा? तब \(\cos^2\theta = 0\) होगा, इसलिए चिह्न चाहे कोई भी चुनें, \(\cos\theta = 0\) ही रहेगा। यह \(\theta = 90°\) के अनुरूप है।
क्या यह किसी भी इकाई के लिए काम करता है? हाँ — यह सर्वसमिका डिग्री या रेडियन से स्वतंत्र है, क्योंकि इसमें केवल \(\sin\theta\) और \(\cos\theta\) के मान शामिल होते हैं।
