Pisagor Özdeşliği Hesaplama Aracı

Hesaplamaya Girin

sin θ (−1 ile 1 arasında)

θ'nın bölgesi (cos θ'nın işareti) cos θ ≥ 0 (Q1 / Q4) cos θ ≤ 0 (Q2 / Q3)

Sonuç

cos θ

0,8

sin²θ + cos²θ = 1 özdeşliğinden

sin²θ	0,36
cos²θ	0,64
sin²θ + cos²θ	1

Pisagor özdeşliği nedir?

\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) şeklinde yazılan Pisagor özdeşliği, trigonometrinin en temel bağıntısıdır. Doğrudan birim çemberden gelir: θ açısındaki bir noktanın koordinatları (cos θ, sin θ) olur ve bu nokta yarıçapı 1 olan bir çember üzerinde bulunduğundan, Pisagor teoremi bize \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\) sonucunu verir. Bu hesaplama aracı sayesinde sin θ değerini girip bölgeyi seçebilir, cos θ'yı anında bulabilir ve özdeşliğin sağlandığını teyit edebilirsiniz.

Birim çemberde cos θ ve sin θ, hipotenüsü 1 olan bir dik üçgenin dik kenarlarıdır ve \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) sonucunu verir.

Bu araç nasıl kullanılır?

−1 ile 1 arasında bir sin θ değeri girin. Ardından cos θ'nın pozitif (I. veya IV. bölgedeki açılar) mı yoksa negatif (II. veya III. bölge) mi olduğunu seçin. Araç, $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ işlemini yapar, sin²θ ve cos²θ değerlerini gösterir ve toplamlarının tam olarak 1'e eşit olduğunu doğrular.

Formülün açıklaması

Özdeşliği yeniden düzenlersek \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\) elde ederiz; buradan da $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ çıkar. Karekök tek başına yalnızca değerin büyüklüğünü verir — işaret ise açının hangi bölgede yer aldığına bağlıdır; çünkü kosinüs, birim çemberin sağ yarısında pozitif, sol yarısında negatiftir. İşte bu yüzden bölgeyi seçmek önemlidir.

Reklam

\(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\) ifadesinde cos θ'nın işaretini bölge belirler.

Örnek çözüm

Diyelim ki sin θ = 0,6 ve θ, I. bölgede olsun. Bu durumda \(\sin^2\theta = 0{,}36\) olur, dolayısıyla $$\cos^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$$ ve $$\cos\theta = +\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$ bulunur. Kontrol edelim: \(0{,}36 + 0{,}64 = 1\) ✓. Bu, klasik 3-4-5 tarzı dik üçgen oranıdır (0,6, 0,8, 1).

Sıkça Sorulan Sorular

cos θ için neden iki olası cevap var? Çünkü kareyi alma işlemi işaret bilgisini ortadan kaldırır. (±1 dışında) herhangi bir sin θ değeri için, aynı sinüs değerini paylaşan iki açı vardır — biri pozitif kosinüslü, diğeri negatif kosinüslü.

sin θ = 1 girersem ne olur? Bu durumda \(\cos^2\theta = 0\) olur, yani işaret seçiminden bağımsız olarak cos θ = 0 bulunur. Bu da θ = 90°'ye karşılık gelir.

Bu araç her birimde çalışır mı? Evet — özdeşlik yalnızca sin θ ve cos θ değerlerini içerdiğinden, derece ya da radyan ayrımından bağımsızdır.