什麼是畢氏三角恆等式？
畢氏三角恆等式 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) 是三角學中最基礎、最核心的關係式。它直接源自單位圓：在角度 θ 處的點座標為 (cos θ, sin θ)，由於該點落在半徑為 1 的圓上，根據畢氏定理可得 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)。這個計算器讓你輸入 sin θ、選擇象限，即可瞬間求出 cos θ，同時確認此恆等式確實成立。
如何使用本計算器
請輸入介於 −1 到 1 之間的 sin θ 數值，接著選擇 cos θ 是正值（角度位於第一或第四象限）還是負值（第二或第三象限）。計算器會計算 \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\)，列出 sin²θ 與 cos²θ 的數值，並驗證兩者相加恰好等於 1。
公式解析
將恆等式重新整理可得 \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)，因此 $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ 單憑平方根只能算出絕對值大小，正負號則取決於角度落在哪個象限——因為餘弦在單位圓的右半邊為正、左半邊為負。這正是為何必須選擇象限的原因。
範例演算
假設 \(\sin\theta = 0.6\) 且 θ 位於第一象限。則 \(\sin^2\theta = 0.36\)，所以 \(\cos^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64\)，得出 \(\cos\theta = +\sqrt{0.64} = 0.8\)。驗證：\(0.36 + 0.64 = 1\) ✓。這正是經典的 3-4-5 直角三角形比例（0.6、0.8、1）。
常見問題
為什麼 cos θ 會有兩個可能的答案？因為取平方時會遺失正負號資訊。對於任一 sin θ 數值（±1 除外），都存在兩個角度——一個餘弦為正、一個餘弦為負——它們具有相同的正弦值。
如果我輸入 sin θ = 1 會如何？此時 \(\cos^2\theta = 0\)，所以無論選擇哪個正負號，cos θ 都等於 0。這對應到 \(\theta = 90°\)。
這適用於任何角度單位嗎？是的。由於此恆等式只牽涉 sin θ 與 cos θ 的數值，因此無論使用角度（度）或弧度都同樣成立。
