피타고라스 항등식이란?
피타고라스 항등식 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)은 삼각함수에서 가장 기본이 되는 관계식입니다. 이 식은 단위원에서 곧바로 유도됩니다. 각도 θ에 해당하는 점의 좌표는 \((\cos\theta, \sin\theta)\)이고, 이 점은 반지름이 1인 원 위에 있으므로 피타고라스 정리에 따라 \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)이 성립합니다. 이 계산기에 sin θ 값을 입력하고 사분면을 고르면, 항등식이 성립하는지 확인하면서 cos θ를 즉시 구할 수 있습니다.
계산기 사용법
먼저 −1과 1 사이의 sin θ 값을 입력하세요. 그다음 cos θ가 양수인지(제1사분면 또는 제4사분면) 음수인지(제2사분면 또는 제3사분면)를 선택합니다. 계산기는 \(\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\)를 계산하고 sin²θ와 cos²θ 값을 보여주며, 두 값의 합이 정확히 1이 되는지 검증합니다.
공식 풀이
항등식을 정리하면 \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\)가 되고, 따라서 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$제곱근만으로는 크기(절댓값)만 알 수 있고, 부호는 각도가 어느 사분면에 있는지에 따라 결정됩니다. 코사인은 단위원의 오른쪽 절반에서는 양수, 왼쪽 절반에서는 음수이기 때문입니다. 바로 이런 이유로 사분면 선택이 중요합니다.
예제 풀이
sin θ = 0.6이고 θ가 제1사분면에 있다고 합시다. 그러면 \(\sin^2\theta = 0.36\)이므로 \(\cos^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64\)이고, 다음과 같습니다.
$$\cos\theta = +\sqrt{0.64} = 0.8$$검산해 보면 \(0.36 + 0.64 = 1\) ✓. 이는 잘 알려진 3-4-5 직각삼각형 비율(0.6, 0.8, 1)에 해당합니다.
자주 묻는 질문
cos θ의 답이 왜 두 개나 나오나요? 제곱 과정에서 부호 정보가 사라지기 때문입니다. (\(\pm 1\)을 제외한) 어떤 sin θ 값이든 같은 사인 값을 갖는 각도가 두 개 존재하는데, 하나는 코사인이 양수이고 다른 하나는 음수입니다.
sin θ = 1을 입력하면 어떻게 되나요? 이 경우 \(\cos^2\theta = 0\)이 되므로 부호 선택과 관계없이 \(\cos\theta = 0\)입니다. 이는 θ = 90°에 해당합니다.
어떤 단위에서도 적용되나요? 네. 이 항등식은 sin θ와 cos θ 값만 다루기 때문에 각도(도)든 라디안이든 단위와 무관하게 성립합니다.
