¿Qué es la identidad pitagórica?
La identidad pitagórica, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), es la relación más fundamental de toda la trigonometría. Surge directamente de la circunferencia unitaria: un punto situado en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sin θ) y, como ese punto está sobre una circunferencia de radio 1, el teorema de Pitágoras nos da \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). Con esta calculadora basta con introducir sin θ, elegir el cuadrante y obtener al instante cos θ, comprobando además que la identidad se cumple.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un valor de sin θ comprendido entre −1 y 1. A continuación, indica si cos θ es positivo (ángulos del primer o cuarto cuadrante) o negativo (segundo o tercer cuadrante). La calculadora obtiene $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ muestra los valores de sin²θ y cos²θ, y verifica que su suma sea exactamente 1.
La fórmula explicada
Si despejamos la identidad, obtenemos \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\), de modo que $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ La raíz cuadrada por sí sola solo nos da el valor absoluto: el signo depende del cuadrante en el que se encuentre el ángulo, ya que el coseno es positivo en la mitad derecha de la circunferencia unitaria y negativo en la mitad izquierda. Por eso es importante elegir bien el cuadrante.
Ejemplo resuelto
Supongamos que sin θ = 0,6 y que θ está en el primer cuadrante. Entonces \(\sin^2\theta = 0{,}36\), así que $$\cos^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 \quad\text{y}\quad \cos\theta = +\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$$ Comprobamos: \(0{,}36 + 0{,}64 = 1\) ✓. Es la clásica proporción del triángulo rectángulo 3-4-5 (0,6, 0,8, 1).
Preguntas frecuentes
¿Por qué hay dos resultados posibles para cos θ? Porque al elevar al cuadrado se pierde la información del signo. Para cualquier valor de sin θ (salvo ±1) existen dos ángulos —uno con coseno positivo y otro con coseno negativo— que comparten el mismo seno.
¿Qué ocurre si introduzco sin θ = 1? En ese caso \(\cos^2\theta = 0\), por lo que cos θ = 0 sea cual sea el signo elegido. Esto corresponde a θ = 90°.
¿Sirve para cualquier unidad? Sí. La identidad es independiente de si trabajas en grados o radianes, ya que solo intervienen los valores de sin θ y cos θ.
