Qu'est-ce que l'identité de Pythagore ?
L'identité de Pythagore, \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\), est la relation fondamentale de toute la trigonométrie. Elle découle directement du cercle trigonométrique : un point situé à l'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ) et, comme ce point se trouve sur un cercle de rayon 1, le théorème de Pythagore donne \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). Avec ce calculateur, il suffit de saisir sin θ, de choisir le quadrant, et vous retrouvez instantanément cos θ tout en confirmant que l'identité est bien vérifiée.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une valeur de sin θ comprise entre −1 et 1. Indiquez ensuite si cos θ est positif (angles des quadrants I ou IV) ou négatif (quadrants II ou III). Le calculateur applique la formule $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ affiche sin²θ et cos²θ, et vérifie que leur somme vaut exactement 1.
La formule expliquée
En réarrangeant l'identité, on obtient \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\), d'où $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ La racine carrée seule ne donne que la valeur absolue : le signe, lui, dépend du quadrant où se trouve l'angle, car le cosinus est positif sur la moitié droite du cercle trigonométrique et négatif sur la moitié gauche. C'est précisément pour cela que le choix du quadrant est déterminant.
Exemple résolu
Supposons que sin θ = 0,6 et que θ se situe dans le quadrant I. Alors \(\sin^2\theta = 0{,}36\), donc $$\cos^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$$ et \(\cos\theta = +\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). Vérification : \(0{,}36 + 0{,}64 = 1\) ✓. On reconnaît ici le célèbre triangle rectangle de type 3-4-5, ramené aux proportions (0,6 ; 0,8 ; 1).
FAQ
Pourquoi y a-t-il deux réponses possibles pour cos θ ? Parce que l'élévation au carré fait perdre l'information sur le signe. Pour une valeur de sin θ donnée (sauf ±1), il existe deux angles — l'un de cosinus positif, l'autre de cosinus négatif — qui partagent le même sinus.
Que se passe-t-il si je saisis sin θ = 1 ? Dans ce cas, \(\cos^2\theta = 0\), donc cos θ = 0, quel que soit le signe choisi. Cela correspond à θ = 90°.
Cela fonctionne-t-il avec n'importe quelle unité ? Oui : l'identité est indépendante des degrés ou des radians, puisqu'elle ne fait intervenir que les valeurs de sin θ et de cos θ.
