Калькулятор основного тригонометрического тождества

Введите расчет

sin θ (от −1 до 1)

Четверть угла θ (знак cos θ) cos θ ≥ 0 (Q1 / Q4) cos θ ≤ 0 (Q2 / Q3)

Результатов

cos θ

0,8

из sin²θ + cos²θ = 1

sin²θ	0,36
cos²θ	0,64
sin²θ + cos²θ	1

Что такое основное тригонометрическое тождество?

Основное тригонометрическое тождество \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\) — это фундаментальное соотношение всей тригонометрии. Оно напрямую вытекает из единичной окружности: точка под углом θ имеет координаты \((\cos\theta, \sin\theta)\), а поскольку эта точка лежит на окружности радиусом 1, по теореме Пифагора получаем \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\). С помощью этого калькулятора вы можете ввести значение sin θ, выбрать четверть и мгновенно получить cos θ, заодно убедившись, что тождество выполняется.

На единичной окружности cos θ и sin θ — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой 1, что даёт \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\).

Как пользоваться калькулятором

Введите значение sin θ в диапазоне от −1 до 1. Затем укажите, положителен ли cos θ (углы в I или IV четверти) или отрицателен (II или III четверть). Калькулятор вычислит $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ покажет значения \(\sin^2\theta\) и \(\cos^2\theta\) и проверит, что их сумма в точности равна 1.

Разбор формулы

Преобразовав тождество, получаем \(\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta\), а значит $$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$$ Сам по себе квадратный корень даёт только модуль значения — знак же зависит от того, в какой четверти лежит угол: косинус положителен в правой половине единичной окружности и отрицателен в левой. Именно поэтому так важно правильно выбрать четверть.

Реклама

Четверть определяет знак cos θ в \(\cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta}\).

Пример решения

Пусть sin θ = 0,6, а угол θ находится в I четверти. Тогда \(\sin^2\theta = 0{,}36\), следовательно \(\cos^2\theta = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\), а \(\cos\theta = +\sqrt{0{,}64} = 0{,}8\). Проверка: \(0{,}36 + 0{,}64 = 1\) ✓. Это классическое соотношение сторон прямоугольного треугольника по образцу «3-4-5» (0,6; 0,8; 1).

Частые вопросы

Почему для cos θ возможны два ответа? Потому что при возведении в квадрат теряется информация о знаке. Для любого значения sin θ (кроме ±1) существуют два угла — один с положительным косинусом, другой с отрицательным, — у которых синус одинаков.

Что будет, если ввести sin θ = 1? Тогда \(\cos^2\theta = 0\), а значит \(\cos\theta = 0\) независимо от выбора знака. Этому соответствует угол θ = 90°.

Работает ли это для любых единиц измерения? Да — тождество не зависит от того, измеряете вы угол в градусах или радианах, поскольку в нём участвуют только значения sin θ и cos θ.