ما الذي تقدّمه هذه الأداة
تحسب آلة جدول الدوال المثلثية هذه قيم الجيب (جا) وجيب التمام (جتا) والظل (ظا) لسلسلة من الزوايا. تختار زاوية البداية وزاوية النهاية والخطوة (مقدار الزيادة)، وكلها بالدرجات، فتعرض الأداة صفاً واحداً لكل زاوية يُظهر قيمة \(\sin\theta\) و \(\cos\theta\) و \(\tan\theta\). كما ترسم منحنيي الجيب وجيب التمام على امتداد النطاق المختار حتى ترى كيف يصعد الموجان ويهبطان. إنها أداة رياضية بحتة تعمل بالطريقة نفسها في كل مكان — دون أي افتراضات تخص بلداً أو وحدة قياس، عدا أن المدخل بالدرجات.
كيفية الاستخدام
أدخل زاوية البداية (الصف الأول)، وزاوية النهاية (آخر زاوية في النطاق)، ومقدار الزيادة، وهو الفارق بين كل صفّين متتاليين. على سبيل المثال، بداية 0 ونهاية 360 وخطوة 2 تنتج الزوايا 0، 2، 4، …، 360. يجب أن يكون مقدار الزيادة أكبر من الصفر. وللحفاظ على حجم الصفحة، ينشئ الجدول 361 صفاً كحد أقصى؛ فإذا كان نطاقك وخطوتك ينتجان أكثر من ذلك، يتوقف عند الصف 361.
شرح الصيغة
لكل زاوية a بالدرجات، تحوّلها الأداة أولاً إلى الراديان باستخدام العلاقة $$r = a \times \frac{\pi}{180}$$ لأن المكتبة الرياضية تتعامل بالراديان. ثم تُحسب \(\sin\theta = \sin(r)\) و \(\cos\theta = \cos(r)\) و \(\tan\theta = \dfrac{\sin(r)}{\cos(r)}\). ولا قيمة للظل عندما تكون \(\cos\theta = 0\) — وهذا يحدث عند 90° و 270° و 450° وسائر مضاعفات 90° الفردية. ولأن قيمة جتا 90° في حساب الفاصلة العائمة تكون رقماً صغيراً جداً غير صفري، تُعلّم الأداة أي زاوية تكون فيها \(|\cos\theta|\) أقل من \(1\mathrm{e}{-12}\) وتطبع كلمة "غير معرّف" بدلاً من رقم هائل.
مثال محلول
بزاوية بداية = 0° ونهاية = 90° ومقدار زيادة = 30°، يحتوي الجدول على أربعة صفوف. عند 0°: جا 0، جتا 1، ظا 0. وعند 30°: \(\sin 30^\circ = 0.5\)، \(\cos 30^\circ = 0.866025\)، \(\tan 30^\circ = 0.577350\). وعند 60°: \(\sin 60^\circ = 0.866025\)، \(\cos 60^\circ = 0.5\)، \(\tan 60^\circ = 1.732051\). وعند 90°: جا 1، جتا 0، ظا غير معرّف. ويُظهر الرسم البياني الجيب وهو يرتفع من 0 إلى 1 بينما يهبط جيب التمام من 1 إلى 0.
الأسئلة الشائعة
لماذا يكون الظل فارغاً أو "غير معرّف" عند 90°؟ لأن \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)، و \(\cos(90^\circ) = 0\)، ومن ثَمّ تكون القسمة غير معرّفة (خط تقارب رأسي).
هل يمكنني استخدام زوايا سالبة أو زوايا أكبر من 360°؟ نعم. فالدوال المثلثية دورية، لذا فأي زاوية حقيقية صالحة.
لماذا لا يُرسَم الظل بيانياً؟ لأن الظل يندفع نحو اللانهاية قرب خطوط تقاربه، ما يشوّه رسماً ذا مقياس ثابت، ولذلك يُرسَم الجيب وجيب التمام فقط بينما يبقى الظل ضمن الجدول.
