ماذا تفعل هذه الحاسبة
يتميّز المثلث المتساوي الساقين بضلعين متساويين (الساقان أو الضلعان المائلان، طول كل منهما \(b\)) وضلع ثالث مختلف (القاعدة، طولها \(a\)). تتساوى زاويتا القاعدة، كما أنّ الارتفاع النازل من الرأس عموديًا على القاعدة ينصّف كلًّا من القاعدة وزاوية الرأس معًا. تحسب هذه الأداة جميع عناصر المثلث — القاعدة والساقين والارتفاع وزاوية القاعدة وزاوية الرأس والمحيط والمساحة — انطلاقًا من أي قيمتين تُدخلهما.
طريقة الاستخدام
اختر تركيبة المدخلات من قائمة اختيار المدخلات المنسدلة (مثل «القاعدة والارتفاع» أو «الساق/الضلع المائل وزاوية القاعدة»). ثم أدخل القيمتين المطابقتين في الخانتين x1 وx2 بالترتيب الموضّح في عنوان القائمة. يمكنك استخدام أي وحدة قياس للأطوال ما دمت متّسقًا معها؛ أما الزوايا فتُدخَل بالدرجات. اضغط على «احسب» لتظهر لك مجموعة عناصر المثلث كاملة.
شرح المعادلات
يقسم الارتفاع المثلث المتساوي الساقين إلى مثلثين قائمين متطابقين، ضلعا كل منهما هما نصف القاعدة \(a/2\) والارتفاع \(h\)، ووتره هو الساق \(b\). ومن مبادئ حساب المثلثات:
$$h = \frac{a}{2}\cdot\tan\theta = b\cdot\sin\theta,\quad a = 2b\cdot\cos\theta$$وتُحسب زاوية القاعدة بالعلاقة \(\theta = \operatorname{atan}(2h/a)\)، أما زاوية الرأس فهي \(180^\circ - 2\theta\) لأنّ مجموع الزوايا الداخلية يساوي \(180^\circ\). وتُستنتج المساحة من
$$S = \tfrac12\cdot a\cdot h = \tfrac12\cdot b^2\cdot\sin(2\theta)$$ويكون المحيط \(a + 2b\).
مثال محلول
اختر «القاعدة والارتفاع» مع \(a = 6\) و \(h = 4\). يكون نصف القاعدة \(3\)، إذًا \(\theta = \operatorname{atan}(4/3) = 53.13^\circ\). والساق \(b = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). وزاوية الرأس \(180 - 2\times 53.13 = 73.74^\circ\)، والمساحة \(\tfrac12\times 6\times 4 = 12\)، والمحيط \(6 + 2\times 5 = 16\). وهذا هو المثلث القائم المألوف 3-4-5 مضاعفًا، ما يؤكّد صحّة العلاقات.
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر رسالة «لا يوجد مثلث صالح»؟ قد تخالف المدخلات متباينة المثلث (مثل قاعدة تساوي ضعف الساق على الأقل)، أو تكون زاوية القاعدة خارج المجال المفتوح من \(0^\circ\) إلى \(90^\circ\)، أو يكون أحد الأطوال أو المساحة غير موجب.
هل تتساوى زاويتا القاعدة دائمًا؟ نعم — فهذه هي الخاصية المميِّزة للمثلث المتساوي الساقين، ولهذا تكفي زاوية قاعدة واحدة \(\theta\) مع طول واحد لحلّ الشكل بأكمله.
هل لنمط «المساحة والساق» حلّان؟ هندسيًا نعم (رأس حاد ورأس منفرج). لكنّ هذه الأداة تُرجع الحلّ الحاد الرئيسي المستنتج من دالة asin.
