À quoi sert ce calculateur
Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur (les côtés obliques ou « branches », de longueur \(b\)) et un côté différent (la base, de longueur \(a\)). Les deux angles à la base sont égaux, et la hauteur abaissée du sommet perpendiculairement à la base coupe à la fois la base et l'angle au sommet en deux parties égales. Ce solveur calcule chaque élément d'un tel triangle — base, côtés, hauteur, angle à la base, angle au sommet, périmètre et aire — à partir de deux valeurs que vous fournissez.
Mode d'emploi
Choisissez une combinaison de données dans le menu déroulant Choix des données (par exemple « Base et hauteur » ou « Côté oblique et angle à la base »). Saisissez ensuite les deux valeurs correspondantes dans les champs x1 et x2, dans l'ordre indiqué par l'intitulé du menu. Les longueurs peuvent être exprimées dans l'unité de votre choix, à condition de rester cohérent ; les angles doivent être saisis en degrés. Lancez le calcul et l'ensemble complet des éléments du triangle s'affiche.
Les formules expliquées
La hauteur partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles superposables, dont les côtés de l'angle droit sont la demi-base \(a/2\) et la hauteur \(h\), l'hypoténuse valant \(b\). À partir de la trigonométrie élémentaire :
$$h = \frac{a}{2}\tan\theta = b\sin\theta,\quad a = 2b\cos\theta$$L'angle à la base vaut \(\theta = \operatorname{atan}(2h/a)\), et l'angle au sommet vaut \(180^\circ - 2\theta\) puisque la somme des angles intérieurs est égale à \(180^\circ\). L'aire découle de
$$S = \tfrac12\, a\, h = \tfrac12\, b^2 \sin(2\theta)$$et le périmètre vaut \(a + 2b\).
Exemple résolu
Choisissez « Base et hauteur » avec \(a = 6\) et \(h = 4\). La demi-base vaut \(3\), donc \(\theta = \operatorname{atan}(4/3) = 53{,}13^\circ\). Le côté vaut
$$b = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$L'angle au sommet vaut \(180 - 2\times 53{,}13 = 73{,}74^\circ\), l'aire vaut \(\tfrac12\times 6\times 4 = 12\), et le périmètre vaut \(6 + 2\times 5 = 16\). On reconnaît ici le célèbre triangle rectangle 3-4-5 dédoublé, ce qui confirme les relations.
FAQ
Pourquoi obtient-on « aucun triangle valide » ? Les données peuvent enfreindre l'inégalité triangulaire (par exemple une base au moins deux fois plus grande que le côté), comporter un angle à la base situé hors de l'intervalle ouvert \(0^\circ\) à \(90^\circ\), ou faire intervenir une longueur ou une aire négative ou nulle.
Les deux angles à la base sont-ils toujours égaux ? Oui — c'est la propriété qui définit le triangle isocèle, et c'est pourquoi un seul angle à la base \(\theta\) associé à une longueur suffit pour résoudre toute la figure.
Le mode « aire et côté » donne-t-il deux solutions ? Géométriquement oui (un sommet aigu et un sommet obtus). Cet outil renvoie la solution principale, à angle aigu, issue de \(\operatorname{asin}\).
