Что считает этот калькулятор
У равнобедренного треугольника две стороны равны между собой (боковые стороны длиной b), а третья сторона — основание (длиной a) — отличается от них. Углы при основании тоже равны, а высота, опущенная из вершины перпендикулярно основанию, делит пополам и само основание, и угол при вершине. Этот калькулятор находит все элементы такого треугольника — основание, боковые стороны, высоту, угол при основании, угол при вершине, периметр и площадь — всего по двум заданным значениям.
Как пользоваться
Выберите подходящую комбинацию исходных данных в выпадающем списке Выбор исходных данных (например, «Основание и высота» или «Боковая сторона и угол при основании»). Затем введите две соответствующие величины в поля x1 и x2 в том порядке, который указан в названии пункта списка. Длины можно задавать в любых единицах — главное, не смешивать их между собой; углы вводятся в градусах. Нажмите «Рассчитать», и калькулятор выдаст полный набор элементов треугольника.
Разбор формул
Высота разбивает равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, катеты которых — половина основания \(a/2\) и высота \(h\), а гипотенуза равна боковой стороне \(b\). По основам тригонометрии:
$$h = \frac{a}{2}\tan\theta = b\sin\theta, \quad a = 2b\cos\theta$$Угол при основании равен \(\theta = \arctan(2h/a)\), а угол при вершине составляет \(180^\circ - 2\theta\), поскольку сумма всех внутренних углов равна \(180^\circ\). Площадь находится по формуле
$$S = \tfrac12\, a\, h = \tfrac12\, b^2 \sin(2\theta)$$а периметр равен \(a + 2b\).
Пример расчёта
Выберем «Основание и высота» с \(a = 6\) и \(h = 4\). Половина основания равна 3, поэтому \(\theta = \arctan(4/3) = 53{,}13^\circ\). Боковая сторона равна \(b = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\). Угол при вершине составляет \(180 - 2\times 53{,}13 = 73{,}74^\circ\), площадь равна \(\tfrac12\times 6\times 4 = 12\), а периметр — \(6 + 2\times 5 = 16\). По сути это удвоенный знакомый «египетский» треугольник 3-4-5, что и подтверждает все соотношения.
Частые вопросы
Почему появляется сообщение «треугольник не существует»? Исходные данные могут нарушать неравенство треугольника (например, основание не меньше удвоенной боковой стороны), угол при основании может выходить за пределы открытого диапазона от \(0^\circ\) до \(90^\circ\), либо длина или площадь оказались неположительными.
Всегда ли углы при основании равны? Да — это и есть определяющее свойство равнобедренного треугольника. Именно поэтому одного угла при основании \(\theta\) вместе с одной длиной достаточно, чтобы определить всю фигуру.
Даёт ли режим «площадь и боковая сторона» два решения? Геометрически — да (острый и тупой угол при вершине). Этот калькулятор возвращает основное острое решение через \(\arcsin\).
