Что вычисляет этот калькулятор
Инструмент решает равнобедренный треугольник по двум его различным сторонам: боковой стороне a из равной пары (она же равна стороне c) и основанию b. По этим данным он находит третью сторону, периметр, полупериметр, площадь и все три высоты. Здесь используется следующее соглашение: стороны a и c — это две равные боковые стороны (a = c), углы A и C тоже равны, а сторона b — это основание, длина которого отличается.
Как пользоваться
Введите длину одной из боковых сторон в поле сторона a, а длину основания — в поле сторона b. При желании выберите единицу длины — это всего лишь подпись для отображения, она не масштабирует числа: результаты получаются одинаковыми независимо от выбранной единицы (площадь выражается в этих единицах в квадрате). Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть все производные величины.
Разбор формул
Высота, опущенная на основание, делит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника, у каждого из которых горизонтальный катет равен b/2, а гипотенуза — a. Поэтому высота к основанию равна \(h_b = \sqrt{a^2 - b^2/4}\). Отсюда площадь:
$$K = \tfrac{1}{2} \times b \times h_b = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$что совпадает с формулой Герона. Каждая высота выражается как \(h_x = \dfrac{2K}{x}\), поэтому \(h_a = h_c = 2K/a\). Периметр равен \(P = 2a + b\), а полупериметр — \(s = P/2\).
Разбор примера
Пусть \(a = 5\) и \(b = 6\): тогда \(c = 5\), \(P = 2(5) + 6 = 16\), \(s = 8\). Высота к основанию равна \(h_b = \sqrt{25 - 9} = 4\), поэтому \(K = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12\). Далее \(h_a = h_c = 24/5 = 4{,}8\). (Проверка по Герону: \(\sqrt{8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\).)
Частые вопросы
Когда треугольник невозможен? Должно выполняться неравенство треугольника \(b < 2a\). Если \(b = 2a\), треугольник вырожденный (нулевая площадь), а если \(b > 2a\) — он вообще не существует; в этих случаях калькулятор выдаёт ошибку.
Почему две высоты равны? Поскольку стороны a и c равны между собой, высоты, опущенные на них — ha и hc, — тоже равны.
Важны ли единицы измерения? Нет — единица служит лишь подписью. Выбор см вместо м не меняет числа: длины выводятся в выбранной вами единице, а площадь — в этой единице в квадрате.
