ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحلّ هذه الأداة المثلث المتساوي الساقين انطلاقًا من طولَي ضلعيه المختلفين: الساق المتساوية a (التي تساوي أيضًا الضلع c) والقاعدة b. ومن هذين الطولين تُرجع الضلع الثالث والمحيط ونصف المحيط والمساحة والارتفاعات الثلاثة. والاصطلاح الهندسي المعتمد هنا هو أن الضلعين a وc متساويان (\(a = c\))، وأن الزاويتين A وC متساويتان، وأن الضلع b هو القاعدة غير المتساوية.
كيفية الاستخدام
أدخل طول إحدى الساقين المتساويتين في خانة الضلع a، وطول القاعدة في خانة الضلع b. ويمكنك اختيار وحدة قياس للطول إن شئت — لكنها مجرد تسمية للعرض ولا تغيّر الأرقام، إذ تبقى الأطوال الناتجة كما هي مهما كانت الوحدة المختارة (وتُعبّر عن المساحة بمربّع تلك الوحدة). انقر على «احسب» لترى كل المقادير المشتقّة.
شرح المعادلة
الارتفاع النازل على القاعدة يقسم المثلث المتساوي الساقين إلى مثلثين قائمين متطابقين، طول الضلع الأفقي في كلٍّ منهما \(b/2\) ووتره \(a\). وبذلك يكون الارتفاع على القاعدة \(h_b = \sqrt{a^2 - b^2/4}\). وتُحسب المساحة كالآتي:
$$K = \tfrac{1}{2} \times b \times h_b = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$$وهي مطابقة لصيغة هيرون. أما كل ارتفاع فيُعطى بالعلاقة
$$h_x = \frac{2K}{x}$$ومن ثَمّ \(h_a = h_c = 2K/a\). والمحيط هو \(P = 2a + b\)، ونصف المحيط \(s = P/2\).
مثال محلول
عند \(a = 5\) و\(b = 6\): نجد \(c = 5\)، و\(P = 2(5) + 6 = 16\)، و\(s = 8\). والارتفاع على القاعدة هو \(h_b = \sqrt{25 - 9} = 4\)، ومنه \(K = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12\). ثم \(h_a = h_c = 24/5 = 4.8\). (تحقق بصيغة هيرون: \(\sqrt{8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\).)
الأسئلة الشائعة
متى يكون المثلث غير صالح؟ يجب أن يحقق متباينة المثلث \(b < 2a\). فإذا كان \(b = 2a\) يصبح المثلث منحلًّا (مساحته صفر)، وإذا كان \(b > 2a\) فلا يمكن أن يوجد؛ وتُظهر الحاسبة رسالة خطأ في هاتين الحالتين.
لماذا يتساوى ارتفاعان؟ لأن الضلعين a وc متساويان، فإن الارتفاعين النازلين عليهما، أي \(h_a\) و\(h_c\)، متساويان كذلك.
هل تؤثّر الوحدة في النتيجة؟ لا — الوحدة مجرد تسمية لا غير. فاختيار السنتيمتر بدل المتر لا يغيّر الأرقام؛ إذ تظهر الأطوال بالوحدة التي اخترتها وتظهر المساحة بمربّع تلك الوحدة.
