حاسبة قانون الجيب

أدخل الحساب

نمط الحساب الزاوية A من a وB وb الزاوية A من a وC وc الزاوية B من b وA وa الزاوية B من b وC وc الزاوية C من c وA وa الزاوية C من c وB وb الضلع a من A وB وb الضلع a من A وC وc الضلع b من B وA وa الضلع b من B وC وc الضلع c من C وA وa الضلع c من C وB وb

الضلع a

الضلع b

الضلع c

الزاوية A

الزاوية B

الزاوية C

وحدة الزاوية درجات راديان

وحدة الطول بدون كم م سم مم ميل ياردة قدم بوصة

الأرقام المعنوية تلقائي 3 4 5 6 7 8 9

صيغة رياضية

Show calculation steps (1)

1. Heron^{\prime}s area

   

   Triangle area from the three sides, where s is the semi-perimeter.

نتائج

المثلث المحلول

a = ٣, b = ٤, c = ٥٫٨٠٢٦٢

Equation used: A = sin^-1[ a sin(B)/b ]

الزاوية A	٢٨٫٨٢٢ degrees
الزاوية B	٤٠ degrees
الزاوية C	١١١٫١٧٨ degrees
المحيط (P)	١٢٫٨٠٢٦
نصف المحيط (s)	٦٫٤٠١٣١
المساحة (K)	٥٫٥٩٤٧٨
نصف القطر الداخلي (r)	٠٫٨٧٤٠٠٥
نصف القطر الخارجي (R)	٣٫١١١٤٥

ما الذي تقوم به هذه الحاسبة

يربط قانون الجيب بين كل ضلع في المثلث وجيب الزاوية المقابلة له. ووفق الاصطلاح المعتاد في التسمية، فإن الضلع \(a\) يقابل الزاوية \(A\)، والضلع \(b\) يقابل الزاوية \(B\)، والضلع \(c\) يقابل الزاوية \(C\). تتيح لك هذه الأداة إيجاد زاوية مجهولة واحدة أو ضلع مجهول واحد انطلاقًا من ثلاث قيم معلومة، ثم تعرض المثلث محلولًا بالكامل: الأضلاع الثلاثة والزوايا الثلاث، إضافةً إلى المحيط ونصف المحيط والمساحة ونصف قطر الدائرة الداخلية ونصف قطر الدائرة الخارجية.

طريقة الاستخدام

اختر نمط الحساب من القائمة المنسدلة. يوضّح لك التسمية بالضبط ما هو معلوم وما المطلوب إيجاده؛ فمثلًا «الزاوية A من a وB وb» تعني أنك تُدخل الضلع \(a\) والزاوية \(B\) والضلع \(b\)، ثم تجد الحاسبة الزاوية \(A\). لن تظهر سوى الحقول الثلاثة ذات الصلة. حدِّد بعد ذلك ما إذا كانت زواياك بالدرجات أم بالراديان، واختر وحدة طول للعرض (وهي ذات طابع شكلي فحسب، لأن قانون الجيب لا يتأثر بالمقياس)، واضبط عدد الأرقام المعنوية في النتيجة.

شرح الصيغة

قانون الجيب:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

لإيجاد زاوية مجهولة \(X\)، تستخدم الحاسبة الصيغة: \(X = \sin^{-1}\!\left(\dfrac{\text{الضلع المقابل لـ } X \times \sin(\text{الزاوية المعلومة})}{\text{الضلع المقابل للزاوية المعلومة}}\right)\). ولإيجاد ضلع مجهول تستخدم: \(\text{الضلع المطلوب} = \dfrac{\text{الضلع المعلوم} \times \sin(\text{الزاوية المقابلة للضلع المطلوب})}{\sin(\text{الزاوية المقابلة للضلع المعلوم})}\). أما الزاوية الثالثة فهي دائمًا \(180^\circ\) ناقص مجموع الزاويتين المعلومتين. وبعد معرفة كل الأضلاع والزوايا، تُحسب المساحة بصيغة هيرون:

$$K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\quad s=\tfrac{a+b+c}{2}$$

ونصف القطر الداخلي من \(r = K / s\)، ونصف القطر الخارجي من \(R = abc / (4K)\).

اعلان

نصف قطر الدائرة المحيطة \(R\) يرتبط بنسبة الجيب: \(a/\sin A = 2R\).

الترميز القياسي للمثلث: كل ضلع يقابل الزاوية ذات الحرف نفسه.

مثال محلول

بفرض أن الضلع \(a = 3\) والزاوية \(B = 40^\circ\) والضلع \(b = 4\) (النمط «الزاوية A من a وB وb»): \(A = \sin^{-1}(3 \times \sin 40^\circ / 4) = \sin^{-1}(0.482091) = 28.824^\circ\). والزاوية الثالثة \(C = 180 - (28.824 + 40) = 111.176^\circ\). والضلع \(c = 4 \times \sin(111.176^\circ) / \sin(40^\circ) = 5.80142\). والمحيط \(= 12.8014\)، والمساحة \(K = 5.59603\)، ونصف القطر الداخلي \(= 0.874281\)، ونصف القطر الخارجي \(= 3.11008\).

الأسئلة الشائعة

لماذا قد تظهر رسالة «لا يوجد حل»؟ في أنماط إيجاد الزاوية يجب أن تكون القيمة داخل دالة الجيب العكسي (arcsin) أقل من 1 أو مساوية له. فإذا تجاوزت 1 فلا يوجد مثلث حقيقي يحقق هذه القياسات.

هل تتعامل الحاسبة مع الحالة الغامضة SSA؟ عندما يُعطى ضلعان وزاوية غير محصورة بينهما، قد يوجد مثلثان صحيحان. تُرجع هذه الحاسبة الحل الحاد فقط (القيمة الأساسية لدالة arcsin)، أما الاحتمال الثاني فهو \(180^\circ\) ناقص تلك الزاوية.

هل تؤثر وحدات الطول في الحساب؟ لا. يعتمد قانون الجيب على النِّسَب، لذا فالوحدة مجرد تسمية للعرض، وتظهر المساحة بمربع الوحدة المختارة.