À quoi sert ce calculateur
Cet outil résout un triangle isocèle à partir de ses deux longueurs de côté distinctes : le côté égal a (égal lui aussi au côté c) et la base b. Il en déduit le troisième côté, le périmètre, le demi-périmètre, l'aire ainsi que les trois hauteurs. La convention géométrique adoptée ici est la suivante : les côtés a et c sont les deux côtés égaux (\(a = c\)), les angles A et C sont eux aussi égaux, et le côté b correspond à la base inégale.
Mode d'emploi
Indiquez la longueur de l'un des côtés égaux dans le champ côté a, puis la longueur de la base dans le champ côté b. Vous pouvez éventuellement choisir une unité de longueur : il s'agit d'une simple étiquette d'affichage, qui ne modifie en rien les valeurs calculées, car les longueurs obtenues restent identiques quelle que soit l'unité retenue (l'aire, elle, s'exprime dans cette unité au carré). Cliquez sur « calculer » pour afficher l'ensemble des grandeurs dérivées.
La formule expliquée
La hauteur abaissée sur la base partage le triangle isocèle en deux triangles rectangles isométriques, chacun ayant un côté horizontal de \(b/2\) et une hypoténuse égale à \(a\). La hauteur relative à la base vaut donc $$h_b = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}.$$ On en déduit l'aire : $$K = \frac{1}{2} \times b \times h_b = \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2},$$ résultat identique à celui de la formule de Héron. Chaque hauteur s'obtient ensuite par \(h_x = 2K / x\), d'où \(h_a = h_c = 2K/a\). Le périmètre est \(P = 2a + b\) et le demi-périmètre \(s = P/2\).
Exemple résolu
Pour \(a = 5\) et \(b = 6\) : \(c = 5\), $$P = 2(5) + 6 = 16, \quad s = 8.$$ La hauteur sur la base vaut $$h_b = \sqrt{25 - 9} = 4,$$ d'où $$K = \tfrac{1}{2}(6)(4) = 12.$$ On obtient alors \(h_a = h_c = 24/5 = 4{,}8\). (Vérification par Héron : \(\sqrt{8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{144} = 12\).)
FAQ
Quand le triangle est-il impossible ? Il doit respecter l'inégalité triangulaire \(b < 2a\). Si \(b = 2a\), le triangle est dégénéré (aire nulle) ; si \(b > 2a\), il ne peut pas exister. Dans ces deux cas, le calculateur affiche une erreur.
Pourquoi deux hauteurs sont-elles égales ? Parce que les côtés a et c sont égaux, les hauteurs qui leur correspondent, \(h_a\) et \(h_c\), le sont également.
Les unités ont-elles une importance ? Non : l'unité n'est qu'une étiquette. Choisir des cm plutôt que des m ne change rien aux valeurs ; les longueurs ressortent dans l'unité choisie et l'aire dans cette unité au carré.
