Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет обратные (arc-) тригонометрические функции действительного числа x и возвращает главное значение в радианах. Можно посчитать одну функцию (арксинус, арккосинус, арктангенс, арккосеканс, арксеканс или арккотангенс), а можно воспользоваться групповыми режимами и получить сразу три прямые функции или три обратные (реципрокные). Если значение x выходит за пределы области определения функции, калькулятор сообщит, что действительного решения нет (потребовалось бы комплексное значение).
Как пользоваться
Выберите функцию из выпадающего списка, введите значение x и укажите количество значащих цифр для отображения. Нажмите «Вычислить». Учтите, что обычная арифметика двойной точности оперирует примерно 15 значащими цифрами, поэтому при выборе больше 15 будут просто показаны все доступные цифры. На сам расчёт настройка отображения не влияет.
Разбор формул
Прямые функции используют стандартные диапазоны главных значений: арксинус возвращает значение из отрезка \(\arcsin x\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\), арккосинус — из \(\arccos x\in[0,\pi]\), а арктангенс — из открытого интервала \(\arctan x\in(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})\). Арксинус и арккосинус определены только при \(-1 \le x \le 1\). Реципрокные функции строятся на основе прямых:
$$\operatorname{arccsc} x=\arcsin\tfrac1x,\quad \operatorname{arcsec} x=\arccos\tfrac1x$$причём в обоих случаях нужно \(|x| \ge 1\) (и \(x \ne 0\)). Для арккотангенса применяется распространённое соглашение о диапазоне \((0, \pi)\):
$$\operatorname{arccot} x=\tfrac{\pi}{2}-\arctan x$$Такой выбор делает функцию непрерывной и всегда положительной, при этом \(\operatorname{arccot}(0) = \tfrac{\pi}{2}\).
Разбор примера
Возьмём функцию «asin, acos и atan» и \(x = 0{,}5\): \(\arcsin(0{,}5) = 0{,}5235987755982988\) рад (\(\tfrac{\pi}{6}\)), \(\arccos(0{,}5) = 1{,}0471975511965979\) рад (\(\tfrac{\pi}{3}\)) и \(\arctan(0{,}5) = 0{,}4636476090008061\) рад. Для проверки:
$$\arcsin(0{,}5) + \arccos(0{,}5) = \tfrac{\pi}{2} = 1{,}5707963267948966$$— ровно то, что и должно получиться.
Частые вопросы
Почему появляется сообщение «нет действительного решения»? Потому что asin/acos требуют значения от -1 до 1, а acsc/asec — значения с \(|x| \ge 1\). За пределами этих диапазонов ответ комплексный, поэтому действительного главного значения не существует.
Как перевести результат в градусы? Умножьте любое значение в радианах на \(180/\pi\) (примерно \(57{,}29578\)). По умолчанию калькулятор выдаёт результат именно в радианах.
Какое соглашение используется для арккотангенса? Ветвь \((0, \pi)\): \(\operatorname{acot}(x) = \tfrac{\pi}{2} - \arctan x\). Это самое распространённое соглашение в математических справочниках, и оно даёт \(\operatorname{acot}(0) = \tfrac{\pi}{2}\).
