Что делает этот калькулятор
Калькулятор разностороннего треугольника находит все элементы произвольного треугольника — три стороны a, b и c, три внутренних угла A, B и C, высоту h, опущенную на основание a, и площадь S — всего по трём известным величинам. Поскольку треугольник полностью определяется тремя независимыми параметрами, отправной точкой могут быть стороны, углы, высота, площадь или их сочетание. Четырнадцать режимов ввода охватывают наиболее распространённые комбинации, включая отдельные варианты для неоднозначных случаев, когда угол может быть как острым, так и тупым.
Как пользоваться
Выберите способ задания данных из выпадающего списка, а затем введите три значения в том порядке, который указан для этого режима (подсказка под полем поясняет смысл каждого значения). Все длины задаются в одной и той же единице измерения, и результаты возвращаются в ней же; углы вводятся и выводятся в градусах; площадь — в единицах в квадрате. Например, режим 1 ожидает три стороны a, b и c, а режим 6 — стороны a и b плюс заключённый между ними угол C.
Разбор формул
В основе расчёта лежат три классических соотношения. Теорема косинусов $$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$$ связывает стороны и углы. Теорема синусов \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) задаёт масштаб треугольника, как только известна одна пара «сторона—угол». Формула Герона $$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ при \(s = \frac{a+b+c}{2}\) даёт площадь по трём сторонам, а высота на основание a равна \(h = \frac{2S}{a}\). Сумма углов \(A + B + C = 180^\circ\) позволяет найти оставшийся угол.
Пример решения
Режим 1 при \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 5\): \(s = 6\), поэтому $$S = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 6.$$ \(A = \arccos(0{,}8) = 36{,}8699^\circ\), \(B = \arccos(0{,}6) = 53{,}1301^\circ\), \(C = 90^\circ\). Высота на основание a равна $$h = \frac{2\cdot 6}{3} = 4.$$ Это подтверждает хорошо известный прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5.
Частые вопросы
Почему у некоторых режимов есть варианты «острый» и «тупой»? Когда вы задаёте пару сторон вместе с высотой или площадью, неизвестный угол может быть как острым, так и его тупым дополнением. Выбор подходящего режима снимает эту неоднозначность.
Что здесь понимается под высотой? Это высота из вершины A, опущенная перпендикулярно на основание a; она равна \(\frac{2S}{a}\).
Почему появилось сообщение «треугольник не существует»? Введённые данные могут нарушать неравенство треугольника, требовать высоту больше стороны, давать сумму углов в 180° или больше либо подразумевать геометрически невозможную площадь.
