ماذا تفعل هذه الحاسبة
تجد حاسبة حل المثلث المختلف الأضلاع كل عناصر المثلث العام — الأضلاع الثلاثة a وb وc، والزوايا الداخلية الثلاث A وB وC، والارتفاع h المُسقَط على القاعدة a، والمساحة S — انطلاقًا من ثلاث قيم معلومة فقط. وبما أن المثلث يتحدد كليًا بثلاثة قياسات مستقلة، يمكنك البدء من الأضلاع أو الزوايا أو ارتفاع أو مساحة أو مزيج من هذه القيم. تغطي أربعة عشر وضعًا للإدخال التركيبات الشائعة، بما فيها خيارات منفصلة للحالات الملتبسة التي قد تكون فيها الزاوية حادة أو منفرجة.
طريقة الاستخدام
اختر مواصفة الإدخال من القائمة المنسدلة، ثم أدخل القيم الثلاث بالترتيب المعروض لذلك الوضع (يبيّن السطر الإرشادي معنى كل قيمة). تُقاس جميع الأطوال بالوحدة نفسها وتظهر النتائج بالوحدة ذاتها؛ وتُدخَل الزوايا وتُعرَض بالدرجات؛ أما المساحة فتُقاس بالوحدة المربعة. على سبيل المثال، يتوقع الوضع 1 الأضلاع الثلاثة a وb وc، بينما يتوقع الوضع 6 الضلعين a وb إضافةً إلى الزاوية المحصورة C.
شرح القوانين
تعتمد الحاسبة على ثلاث علاقات كلاسيكية. قانون جيب التمام، \( c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C} \)، يحوّل بين الأضلاع والزوايا. وقانون الجيب، \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)، يضبط مقياس المثلث متى عُرف زوج من ضلع وزاويته المقابلة. أما صيغة هيرون، $$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$ حيث \( s = \frac{a+b+c}{2} \)، فتعطي المساحة انطلاقًا من الأضلاع الثلاثة، والارتفاع على القاعدة a هو \( h = \frac{2S}{a} \). ويُكمل مجموع الزوايا \( A + B + C = 180^\circ \) حساب الزاوية المتبقية.
مثال محلول
الوضع 1 بقيم a = 3 وb = 4 وc = 5: نحصل على \( s = 6 \)، فتكون $$ S = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 6 $$ وتكون \( A = \arccos(0.8) = 36.8699^\circ \)، وB \( = \arccos(0.6) = 53.1301^\circ \)، وC \( = 90^\circ \). والارتفاع على القاعدة a هو \( h = \frac{2\cdot 6}{3} = 4 \). وهذا يؤكد المثلث القائم الزاوية المعروف 3-4-5.
الأسئلة الشائعة
لماذا توجد نسختان حادة ومنفرجة لبعض الأوضاع؟ عندما تُدخِل زوجًا من الأضلاع مع ارتفاع أو مساحة، قد تكون الزاوية المجهولة حادة أو متممتها المنفرجة. واختيار الوضع المطابق يزيل هذا الالتباس.
ما المقصود بالارتفاع هنا؟ هو الارتفاع النازل من الرأس A عموديًا على القاعدة a، ويساوي \( \frac{2S}{a} \).
لماذا ظهرت لي رسالة "لا يوجد مثلث صحيح"؟ قد تخالف البيانات متباينة المثلث، أو تتطلب ارتفاعًا أكبر من أحد الأضلاع، أو تعطي زوايا مجموعها 180° أو أكثر، أو تستلزم مساحة غير ممكنة هندسيًا.
