벡터 간 유클리드 거리란?
유클리드 거리는 n차원 공간에서 두 점 또는 두 벡터 사이를 잇는 직선 거리, 즉 '일직선으로 잰 최단 거리'를 말합니다. 피타고라스 정리를 임의의 차원으로 확장한 개념으로, 기하학은 물론 머신러닝, 군집화(클러스터링), 데이터 과학 분야에서 가장 널리 쓰이는 거리 측정 방식 중 하나입니다.
계산기 사용법
벡터 A와 벡터 B의 각 성분을 쉼표로 구분해 입력하세요. 예를 들어 1, 2, 3과 4, 6, 8처럼요. 두 벡터는 성분 개수가 같아야 하며, 만약 개수가 다를 경우 앞쪽에서 겹치는 성분까지만 비교합니다. 계산 버튼을 누르면 거리 값, 비교한 차원 수, 제곱 차의 합을 한눈에 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
거리는 다음 공식으로 구합니다.
$$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$서로 대응하는 성분끼리 빼고, 그 차이를 제곱하여(음수와 양수가 서로 상쇄되지 않도록) 모두 더한 뒤, 합계에 제곱근을 씌웁니다. 마지막에 제곱근을 취하는 이유는 값을 원래 측정 단위의 크기로 되돌리기 위해서입니다.
예제로 풀어보기
A = (1, 2, 3), B = (4, 6, 8)이라고 해봅시다. 각 성분의 차이는 \(-3\), \(-4\), \(-5\)입니다. 이를 제곱하면 \(9\), \(16\), \(25\)가 되고, 모두 더하면 \(50\)입니다. \(50\)의 제곱근은 약 7.0711입니다.
$$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} \approx 7.0711$$이것이 바로 두 벡터 사이의 유클리드 거리입니다.
자주 묻는 질문
두 벡터의 길이가 다르면 어떻게 되나요? 거리는 길이가 같은 벡터끼리만 명확하게 정의됩니다. 이 계산기는 더 짧은 벡터의 길이를 기준으로 앞쪽 성분까지만 비교합니다.
2차원이나 3차원 점에도 쓸 수 있나요? 네, 가능합니다. 2차원 점은 숫자 두 개를, 3차원 점은 세 개를 입력하면 같은 공식이 그대로 적용됩니다.
맨해튼 거리와는 어떻게 다른가요? 맨해튼 거리는 각 성분 차이의 절댓값(\(|\text{A}_i - \text{B}_i|\))을 단순히 더한 값으로, 제곱이나 제곱근을 사용하지 않습니다. 즉, 직선이 아니라 좌표축을 따라 이동하는 거리를 측정합니다.
