Что такое евклидово расстояние между векторами?
Евклидово расстояние — это длина прямой линии («по прямой») между двумя точками или векторами в n-мерном пространстве. Оно обобщает теорему Пифагора на любое число измерений и остаётся одной из самых популярных метрик расстояния в геометрии, машинном обучении, кластеризации и анализе данных.
Как пользоваться калькулятором
Введите компоненты вектора A и вектора B как числа через запятую — например, 1, 2, 3 и 4, 6, 8. У обоих векторов должно быть одинаковое количество компонент; если их число различается, сравниваются только первые совпадающие по позиции значения. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть расстояние, число сравниваемых измерений и сумму квадратов разностей.
Разбираем формулу
Расстояние вычисляется как $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$ Для каждой пары соответствующих компонент вычтите одно значение из другого, возведите результат в квадрат (чтобы отрицательные разности не гасили положительные), сложите все квадраты, а затем извлеките квадратный корень из суммы. Корень возвращает величину к исходной шкале измерения.
Пример расчёта
Возьмём A = (1, 2, 3) и B = (4, 6, 8). Разности равны −3, −4 и −5. После возведения в квадрат получаем 9, 16 и 25, их сумма — 50. Квадратный корень из 50 приблизительно равен 7,0711. Это и есть евклидово расстояние между двумя векторами. $$d = \sqrt{(1-4)^{2} + (2-6)^{2} + (3-8)^{2}} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \approx 7{,}0711$$
Частые вопросы
Что делать, если у векторов разная длина? Расстояние корректно определено только для векторов одинаковой длины. Этот инструмент сравнивает начальные компоненты до длины более короткого вектора.
Подходит ли это для 2D- и 3D-точек? Да — введите два числа для точек на плоскости или три для точек в пространстве; формула работает одинаково.
Чем это отличается от манхэттенского расстояния? Манхэттенское расстояние складывает абсолютные значения разностей \(|\text{A}_i - \text{B}_i|\) без возведения в квадрат и извлечения корня — оно измеряет путь вдоль осей, а не по прямой.
