Qu'est-ce que la distance euclidienne entre deux vecteurs ?
La distance euclidienne correspond à la distance en ligne droite — « à vol d'oiseau » — séparant deux points ou deux vecteurs dans un espace à n dimensions. Elle généralise le théorème de Pythagore à un nombre quelconque de dimensions et figure parmi les mesures de distance les plus utilisées en géométrie, en apprentissage automatique, en partitionnement de données (clustering) et en science des données.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez les composantes du vecteur A et du vecteur B sous forme de nombres séparés par des virgules — par exemple 1, 2, 3 et 4, 6, 8. Les deux vecteurs doivent comporter le même nombre de composantes ; en cas de différence, seules les premières composantes communes sont comparées. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la distance, le nombre de dimensions comparées et la somme des carrés des écarts.
La formule expliquée
La distance se calcule ainsi : $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$ Pour chaque paire de composantes correspondantes, on soustrait l'une de l'autre, on élève le résultat au carré (afin que les valeurs négatives n'annulent pas les positives), on additionne tous ces carrés, puis on extrait la racine carrée du total. La racine carrée ramène la valeur à l'échelle de mesure d'origine.
Exemple concret
Prenons \(A = (1, 2, 3)\) et \(B = (4, 6, 8)\). Les écarts valent \(-3\), \(-4\) et \(-5\). Une fois élevés au carré, on obtient \(9\), \(16\) et \(25\), dont la somme fait \(50\). La racine carrée de \(50\) vaut environ 7,0711. Voilà la distance euclidienne entre ces deux vecteurs.
Questions fréquentes
Et si mes vecteurs n'ont pas la même longueur ? La distance n'est réellement définie que pour des vecteurs de même longueur. Cet outil compare les premières composantes, jusqu'à la longueur du vecteur le plus court.
Cela fonctionne-t-il pour des points en 2D et en 3D ? Oui — saisissez deux nombres pour des points en 2D ou trois pour des points en 3D ; la même formule s'applique.
Quelle différence avec la distance de Manhattan ? La distance de Manhattan additionne les écarts en valeur absolue (\(|\text{A}_i - \text{B}_i|\)), sans élévation au carré ni racine carrée : elle mesure la distance le long des axes plutôt qu'en ligne droite.
