向量歐幾里得距離計算機

輸入計算

向量 A（以逗號分隔）

向量 B（以逗號分隔）

結果

歐幾里得距離

7.0711

單位

比較的維度數	3
差值平方和	50

什麼是向量的歐幾里得距離？

歐幾里得距離（又稱歐氏距離）指的是 n 維空間中兩個點或兩個向量之間的直線距離，也就是俗稱「兩點之間最短」的那段路徑。它把畢氏定理推廣到任意維度，是幾何學、機器學習、分群分析與資料科學領域中最常用的距離度量之一。

歐幾里得距離是兩點（向量）之間的直線距離。

如何使用這個計算機

請以逗號分隔的數字輸入向量 A 與向量 B 的各個分量，例如 1, 2, 3 與 4, 6, 8。兩個向量的分量數量應該相同；若數量不一致，系統只會比較前面重疊的分量。按下計算後，即可看到距離、實際比較的維度數，以及差值平方和。

公式解析

距離的計算方式為 $$d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(\text{A}_i - \text{B}_i\right)^{2}}$$ 針對每一組對應的分量，先將兩者相減，再把差值平方（這樣負值就不會與正值互相抵消），接著把所有平方值加總，最後取總和的平方根。開平方的步驟能讓結果回到原始的度量尺度。

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此公式將每個分量的差平方、求和，再取平方根。

實際範例

假設 A = (1, 2, 3)、B = (4, 6, 8)，各分量的差值分別為 \(-3\)、\(-4\)、\(-5\)。平方後得到 \(9\)、\(16\)、\(25\)，加總為 \(50\)。$$\sqrt{50} \approx 7.0711$$ 這就是這兩個向量之間的歐幾里得距離。

常見問題

如果兩個向量長度不同怎麼辦？距離只有在兩個向量長度相同時才有明確定義。本工具會以較短向量的長度為準，只比較前面對應的分量。

這個工具適用於 2D 與 3D 的點嗎？適用——2D 點輸入兩個數字、3D 點輸入三個數字即可，套用的都是同一個公式。

它和曼哈頓距離有什麼不同？曼哈頓距離是把各分量差的絕對值（\(|\text{A}_i - \text{B}_i|\)）加總，不平方也不開根號，衡量的是沿著座標軸行進的距離，而非直線距離。