Что делает этот калькулятор
Калькулятор угла между двумя векторами определяет угол, разделяющий два вектора на плоскости или в пространстве. Введите координаты X, Y и (при необходимости) Z для каждого вектора, и инструмент выдаст угол сразу в градусах и радианах, а также скалярное произведение, длину (модуль) каждого вектора и косинус угла. Калькулятор работает для любого направления в пространстве и широко применяется в физике, инженерных расчётах, компьютерной графике и линейной алгебре.
Как пользоваться
Введите координаты вектора A в первой строке, а вектора B — во второй. Для двумерных векторов оставьте поля Z пустыми или поставьте 0. Нажмите «Рассчитать», чтобы увидеть угол. Результат всегда лежит в диапазоне от 0° до 180°, потому что арккосинус отношения через скалярное произведение возвращает неотрицательный угол.
Разбор формулы
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними: \(\vec{a}\cdot\vec{b} = \lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert\cos\theta\). Отсюда выражаем угол: $$\theta = \arccos\left(\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\lVert\vec{a}\rVert\,\lVert\vec{b}\rVert}\right)$$ Скалярное произведение вычисляется как \(a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z\), а длина каждого вектора — это квадратный корень из суммы квадратов его координат. Если хотя бы один вектор имеет нулевую длину, угол не определён, поэтому калькулятор защищён от деления на ноль.
Пример расчёта
Возьмём A = (1, 0, 0) и B = (1, 1, 0). Скалярное произведение равно $$1\times 1 + 0\times 1 + 0\times 0 = 1.$$ Длины векторов: \(\lVert A\rVert = 1\) и \(\lVert B\rVert = \sqrt{2} \approx 1{,}4142\). Тогда $$\cos\theta = \frac{1}{1{,}4142} \approx 0{,}7071,$$ а \(\theta = \arccos(0{,}7071) = 45°\) (примерно 0,7854 радиана).
Частые вопросы
Подходит ли он для двумерных векторов? Да — просто оставьте координаты Z пустыми или равными 0.
Почему угол никогда не превышает 180°? Арккосинус возвращает значения от 0 до 180° — это наименьший угол между двумя направлениями независимо от их ориентации.
Что означает результат 90°? Векторы перпендикулярны (ортогональны). Это происходит всегда, когда скалярное произведение в точности равно нулю.
Интерпретация результата
Угол \(\theta\) возвращаемый этим калькулятором находится в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) (\(0\) до \(\pi\) радиан). Поскольку величины \(\lVert\vec{A}\rVert\) и \(\lVert\vec{B}\rVert\) всегда положительны, знак косинуса совпадает со знаком скалярного произведения. Один этот факт показывает вам геометрическую связь с первого взгляда:
| Угол \(\theta\) | \(\cos\theta\) | Скалярное произведение \(\vec{A}\cdot\vec{B}\) | Геометрическое значение |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(+1\) | Положительное (максимальное) | Одинаковое направление — векторы параллельны |
| \(0^\circ\)–\(90^\circ\) | От \(0\) до \(+1\) | Положительное | Острый угол — векторы указывают в общее направление |
| \(90^\circ\) | \(0\) | Нулевое | Ортогональные (перпендикулярные) |
| \(90^\circ\)–\(180^\circ\) | От \(-1\) до \(0\) | Отрицательное | Тупой угол — векторы указывают в противоположные направления |
| \(180^\circ\) | \(-1\) | Отрицательное (минимальное) | Противоположное направление — антипараллельны |
Правило быстрого определения: положительное скалярное произведение означает острый угол, нулевое скалярное произведение означает прямой угол, и отрицательное скалярное произведение означает тупой угол. Чем ближе \(\cos\theta\) к \(\pm 1\), тем ближе векторы к тому, чтобы лежать вдоль одной линии.
Определения и глоссарий
- Вектор
- Величина с величиной и направлением, записываемая как упорядоченный список компонентов, например \(\vec{A}=(A_x, A_y, A_z)\).
- Компонента вектора (x / y / z)
- Проекция вектора на координатную ось. \(A_x\), \(A_y\) и \(A_z\) — это величины, на которые вектор простирается вдоль осей x, y и z соответственно. Для двумерного вектора установите \(A_z = 0\).
- Скалярное произведение (скалярное произведение)
- Единственное число, образованное двумя векторами: \(\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z\). Оно равно \(\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert\cos\theta\), поэтому его знак показывает, является ли угол острым, прямым или тупым.
- Величина (норма, длина)
- Длина вектора, \(\lVert\vec{A}\rVert = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}\). Она всегда неотрицательна.
- Косинус
- Тригонометрическое отношение \(\cos\theta\), которое здесь равно нормализованному скалярному произведению \(\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lVert\vec{A}\rVert\,\lVert\vec{B}\rVert}\). Оно находится в диапазоне от \(-1\) (противоположное) через \(0\) (перпендикулярное) к \(+1\) (одно направление).
- Арккосинус (обратный косинус)
- Функция \(\arccos(x)\), которая восстанавливает угол по его косинусу, возвращая значение между \(0^\circ\) и \(180^\circ\) (\(0\) до \(\pi\) радиан).
- Ортогональные / перпендикулярные
- Векторы пересекаются под углом \(90^\circ\). Их скалярное произведение точно равно нулю.
- Параллельные / антипараллельные
- Параллельные векторы указывают в одном направлении (\(\theta = 0^\circ\), \(\cos\theta = +1\)); антипараллельные векторы указывают в точно противоположных направлениях (\(\theta = 180^\circ\), \(\cos\theta = -1\)). В обоих случаях векторы лежат вдоль одной линии.
