Что такое опорный угол?
Опорный угол — это наименьший положительный острый угол (от 0° до 90°), который образуют конечная сторона угла и горизонтальная ось x. В тригонометрии это незаменимый инструмент: синус, косинус и тангенс любого угла по абсолютной величине совпадают со значениями его опорного угла — меняется лишь знак в зависимости от четверти. Благодаря этому вычислять тригонометрические функции больших или отрицательных углов становится гораздо проще.
Как пользоваться калькулятором
Введите любой угол и укажите, в чём он задан — в градусах или радианах. Калькулятор сначала приводит угол к стандартному диапазону 0–360°, определяет, в какой четверти лежит его конечная сторона, и затем возвращает опорный угол в той же единице измерения, что вы ввели. Дополнительно показываются приведённый угол и номер четверти, чтобы вы могли проверить ход решения.
Разбираем формулу
Сначала приводим угол: \(\alpha = \text{угол} \bmod 360^\circ\) (если результат отрицательный, прибавляем 360°). Затем применяем правило четвертей: в I четверти опорный угол равен \(\alpha\); во II четверти — \(180^\circ - \alpha\); в III четверти — \(\alpha - 180^\circ\); в IV четверти — \(360^\circ - \alpha\). Для углов в радианах та же логика работает «под капотом» в градусах, а ответ затем переводится обратно в радианы.
$$\theta_{\text{ref}} = \begin{cases} \alpha & 0^\circ \le \alpha \le 90^\circ \\ 180^\circ - \alpha & 90^\circ < \alpha \le 180^\circ \\ \alpha - 180^\circ & 180^\circ < \alpha \le 270^\circ \\ 360^\circ - \alpha & 270^\circ < \alpha < 360^\circ \end{cases} \qquad \alpha = \text{Angle} \bmod 360^\circ$$
Пример решения
Возьмём 210°. Угол уже лежит в диапазоне 0–360°, а поскольку 180° < 210° ≤ 270°, он находится в III четверти. Опорный угол равен \(210^\circ - 180^\circ = \mathbf{30^\circ}\). Значит, \(\sin(210^\circ) = -\sin(30^\circ) = -0{,}5\), что совпадает с известным значением.
Частые вопросы
Можно ли вводить отрицательные углы? Да. Отрицательный угол приводится прибавлением 360° до тех пор, пока он не попадёт в диапазон 0–360°. Так, −30° превращается в 330° (IV четверть) с опорным углом 30°.
А углы больше 360°? Они приводятся с помощью операции взятия остатка (mod), поэтому 750° превращается в 30° ещё до применения правила четвертей.
Всегда ли опорный угол положительный? Да — опорный угол всегда лежит в пределах от 0° до 90° (от 0 до \(\pi/2\) радиан) включительно.
